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成人高考-数学知识复习资料.pdf

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成人高考-数学知识复习资料.pdf

成人高考 - 数学知识提纲 数学复习资料 1.集合会用列举法、描述法表示集合,会集合的交、并、补运算,能借助 数轴解决集合运算的问题,具体参看课本例 2、 4、 5. 2.充分必要条件 要分清条件和结论,由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件;由结 论可推出条件,则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释,若 BA ,则 A 是 B 的充分条件;若 B A ,则 A 是 B 的必要条件;若 AB,则 A 是 B 的充 要条件。 例 1对“充分必要条件”的理解 .请看两个例子 ( 1) “ 2 9x ”是“ 3x ”的什么条件 ( 2) 2x 是 5x 的什么条件 我们知道,若 A B ,则 A 是 B 的充分条件,若“ A B ”,则 A 是 B 的 必要条件, 但这种只记住定义的理解还不够, 必须有自己的理解语言 “ 若 A B , 即是 A 能推出 B” , 但这样还不够具体形象, 因为 “推出” 指的是什么还不明确; 即使借助数轴、 文氏图, 也还是 “抽象” 的; 如果用 “ A 中的所有元素能满足 B” 的自然语言去理解,基本能深刻把握“充分必要条件”的内容 .本例中, 2 9x 即 集合 { 3,3} ,当中的元素 3 不能满足或者说不属于 {3} ,但 {3} 的元素能满足或 者说属于 { 3,3} .假设 }3|{},9|{ 2 xxBxxA ,则满足“ A B ”,故 “ 2 9x ”是“ 3x ”的必要非充分条件,同理 2x 是 5x 的必要非充分条件 . 3.直角坐标系 注意某一点关于坐标轴、坐标原点、 ,y x y x 的坐标的写 法。如 点( 2, 3)关于 x 轴对称坐标为( 2, -3) , 点( 2, 3)关于 y 轴对称坐标为( -2, 3) , 点( 2, 3)关于原点对称坐标为( -2, -3) , 点( 2, 3)关于 y x 轴对称坐标为( 3, 2) , 点( 2, 3)关于 y x 轴对称坐标为( -3, -2) , 4.函数的三要素定义域、值域、对应法则,如果两个函数三要素相同,则 是相同函数。 5.会求函数的定义域,做 21 页第一大题 6.函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性性、周期是重要的研究内 容,尤其是定义域、一次和二次函数的解析式,单调性最重要。 7. 函数的奇偶性。 ( 1)具有奇偶性的函数的 定义域的特征定义域必须关于原点对称 为此确定 函数的奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称。 ( 2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂,应先化简, 再判断其奇偶性) ①定义法②利用函数奇偶性定义的等价形式 0f x f x 或 1 f x f x ( 0f x ) 。③图像法奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴 对称。 常见奇函数 1 3 3 5, , , , sin , tany x y x y x y x y x y x ,指数是奇数 常见偶函数 2 2 0, , , , cosy k y x y x y x y x 一些规律 两个奇函数相加或者相减还是奇函数, 两个偶函数相加或者相减 还是偶函数,但是两种函数加减就是非奇非偶,两种函数乘除是奇函数,例如 sintan cos xy x x 是奇函数 . ( 3)函数奇偶性的性质 ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性, 则其单调性完全相同; 偶函数在 关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反 . ②如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数 . ③若 f x 为偶函数,则 | |f x f x f x . ④奇函数 f x 定义域中含有 0, 则必有 0 0f . 故 0 0f 是 f x 为奇函数的既 不充分也不必要条件。 8.函数的单调性一般用来比较大小,而且主要用来比较指数函数、对数函 数的大小,此外,反比例函数、一次函数、二次函数的单调性也比较重要,要熟 记他们的图像的分布和走势。熟记课本第 11 页至 13 页的图和相关结论。 一次函数、反比例函数 p17 例 5 p20 例 8 9.二 次 函 数 表 达 形 式 有 三 种 一 般 式 2 f x ax bx c ; 顶 点 式 2 f x a x m n;零点式 1 2 f x a x x x x ,要会根据已知条件的特点,灵活 地选用二次函数的表达形式。 课本中的 p17 例 5( 4) 例 6、例 7,例 10 例 11;习题 p23 8、 9、 10、 11 10.一元一次不等式的解法关键是化为 ax b ,再把 x 的系数化为 1,注意乘 以或者除以一个负数不等号的方向要改变; 一元一次不等式组最后取个不等式的 交集,即数轴上的公共部分。做 p42 4、 5、 6 大题 11. 绝 对 值 不 等 式 只 要 求 会 做 | |ax b c c ax b c 和 | |ax b c c ax b 或者 ax b c ,一定会去绝对值符号。做 p43 7 12.一元二次不等式是重点,阅读课文 33 至 34 的图表及 39 至 42 页的例题。 做 43 页 8、 9、 10、 11、 12 设 0a , 1 2,x x 是方程 2 0ax bx c 的两实根,且 1 2x x ,则其解集如下表 2 0ax bx c 2 0ax bx c 2 0ax bx c 2 0ax bx c 0 1{ |x x x 或 2}x x 1{ |x x x 或 2}x x 1 2{ | }x x x x 1 2{ | }x x x x 0 { | } 2 bx x a R { | }2 bx x a 0 R R 对于方程 02 cbxax 有实数解的问题 。首先要讨论最高次项系数 a 是否 为 0,其次若 0a ,则一定有 042 acb 。 13. 数列的同项公式与前 n 项的和的关系 1 1 , 1 , 2n n n s na s s n 数列 { }na 的前 n 项的和为 1 2n ns a a a . 等差数列的通项公式 *1 1 1 na a n d dn a d n N ; 其前 n 项和公式为 1 2 n n n a as 1 1 2 n nna d 2 1 1 2 2 d n a d n . 等比数列的通项公式 1 *11 n nn aa a q q n N q ; 其前 n 项的和公式为 1 1 1 , 1 1 , 1 n n a q q s q na q 或 1 1 , 11 , 1 n n a a q q qs na q . 14. 等差数列的性质 ( 1)当 m n p q 时 ,则有 qpnm aaaa ,特别地,当 2m n p时,则有 2m n pa a a 2 若 { }na 、是等差数列, 2 3 2, ,n n n n nS S S S S , , 也成等差数列 ( 3)在等差数列 { }na 中,当项数为偶数 2n 时, S S nd偶 奇- ;项数为奇数 2 1n 时, S S a奇 偶 中 , 2 1 2 1nS n a中 (这里 a中 即 na ) ; 1奇 偶S S k k 。 4如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差 数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数 . 注意 公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究 n ma b . 15. 等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首 先要判断公比 q 是否为 1, 再由 q 的情况选择求和公式的形式, 当不能判断公比 q 是否为 1 时,要对 q 分 1q 和 1q 两种情形讨论求解。 16. 等比数列的性质 ( 1)当 m n p q时,则有 m n p qa a a a ,特别地,当 2m n p 时,则有 2 m n pa a a . 2 若 { }na 是等比数列,且公比 1q ,则数列 2 3 2, ,n n n n nS S S S S , , 也是等 比数列。 当 1q ,且 n 为偶数时,数列 2 3 2, ,n n n n nS S S S S , , 是常数数列 0,它不是 等比数列 . 3 在等比数列 { }na 中,当项数为偶数 2n 时, S qS偶 奇 ;项数为奇数 2 1n 时, 1S a qS奇 偶 . 4数列 { }na 既成等差数列又成等比数列,那么数列 { }na 是非零常数数列,故常 数数列 { }na 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 这一章主要是找数字的规律, 写出数列通项公式, 但对等差和等比数列要求比 较高,会有较大的比重,出解答题, 48 页起的例 2、 3、 4、 5 是基础题,例 6、 7、 8、 9 是中档题目,例 10、 11、 12 是综合题。最要紧做 55 页的题目。 17. 导数的几何意义 曲线 y= f( x) 在点 P( x0,fx0) 处的切线的斜率是 . 0xf 相应地, 切线方程是 ; 000 xxxfyy 18.导数的应用 ( 1)利用导数判断函数的单调性设函数 y= f( x)在某个区间内可导, 如果 ,0xf 那么 fx 为增函数;如果 ,0xf 那么 fx 为减函数; 如果在某个区间内恒有 ,0xf fx 为常数; ( 2)求可导函数极值的步骤①求导数 xf ;②求方程 0xf 的根;③检 验 xf 在方程 0xf 根的左右的符号,如果左正右负,那么函数 yfx 在这 个根处取得最大值;如果左负右正,那么函数 yfx 在这个根处取得最小值。 19.本章重点是求曲线在一点处的切线方程和多项式的导数, 会求函数最大 值最小值和极值。课本 61 页例 1、 3、 4、 5 和 64 页习题要过一过关。 20.三角函数 本章出 2 个小题, 1 个大题,不是重点内容 1 象限角的概念 如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象 限。 2. 弧长公式 | |l R,扇形面积公式 21 1| | 2 2S lR R , 1 弧度 1rad 57.3 . 3、任意角的三角函数的定义 设 是任意一个角, P , x y 是 的终边上的任意 一点(异于原点) , 它与原点的距离是 2 2 0r x y , 那么 sin ,cosy x r r , tan , 0y x x , cot xy 0y 4. 特殊角的三角函数值 cos 3 2 2 2 1 2 1 0 -1 0 6 2 4 6 2 4 30 45 60 0 90 180 270 15 75 sin 21 22 2 3 0 1 0 - 1 6 2 4 6 2 4 tan 3 3 1 3 0 0 2- 3 2 3 性质 sin x cosx tan x 图 像 的 来 源 及 图 像 95 页图 3.1 95 页图 3.1 95 页图 3.1 定 义 域 96 页表格 96 页表格 96 页表格 值域 96 页表格 96 页表格 96 页表格 单 调 性及 递 增 递 减 区间 96 页表格 96 页表格 96 页表格 周 期 性及 奇 偶 性 95、 96 页表格 95、 96 页表 格 9596 页 表 格 对 称 轴 不要求 不要求 不要求 对 称 中心 不要求 不要求 不要求 最 值 及 指 定 区 间 的 最值 95 页表格 95 页表格 95 页表格 简 单 三 角 方 程 和 不 不要求 不要求 不要求 5. 三角函数的恒等变形的基本思路 是一角二名三结构。即首先观察角 与角之间的关系, 注意角的一些常用变式, 角的变换是三角函数变换的核心 第二看函数名 称之间的关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。 6. 基本公式 1.常见三角不等式 ( 1)若 0, 2x ,则 sin tanx x x . 2 若 0, 2x ,则 1 sin cos 2x x . 3 | sin | | cos | 1x x . 2. 同角三角函数的基本关系式 2 2sin cos 1, tan cos sin , tan 1cot . 3. 正弦、余弦的诱导公式(参看课本 77-78 页) 注意规律横不变名竖变名,正负看象限 ( 1)负角变正角,再写成 2k , 0 2 ; 2转化为锐角三角函数。 4. 和角与差角公式 sin sin cos cos sin ; cos cos cos sin sin ; tan tantan 1 tan tan . sin cosa b 2 2 sin a b 辅助角 所在象限 由点 , a b 的象限决定 , tan b a . 5. 二倍角公式 sin 2 sin cos , 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2 2 tantan 2 1 tan . 6. 三角函数的周期公式 函数 sin y x , x∈ R及函数 cos y x , x∈ RA, ω , 为常数,且 A≠ 0, ω > 0 的周期 2T ; 函数 tan y x , , 2x k k Z A, ω , 为常数,且 A≠ 0, ω > 0 的周期 T . 重要例题 96 至 101 的例 1 到例 5 21. 解三角形就完成模拟试题的相关习题即可。 22. 平面向量 看 125 页例 1、 2、 4、 5、 6 及习题 1、 2、 3 实数与向量的积的运算律设 λ 、 μ 为实数,那么 1 结合律 λ μ a λ μ a; 2 第一分配律 λ μ aλ aμ a; 3 第二分配律 λ ab λ aλ b. 2. 向量的数量积的运算律 1 a 2 b b 2 a (交换律) ; 2 ( a) 2 b ( a2 b) a2 b a 2( b) ; 等式 3 ( ab) 2 c a 2 c b 2 c. 切记两向量不能相除 相约 ; 向量的“乘法”不满足结合律 , 4. 向量平行的坐标表示 设 a 1 1 , x y , b 2 2 , x y ,且 b 0, 则 a bb 0 1 2 2 1 0x y x y . 5. a 与 b 的数量积 或内积 a2 b| a|| b|cos θ . 6. a2 b 的几何意义 数量积 a2 b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cosθ 的乘积. 7. 平面向量的坐标运算 1 设 a 1 1 , x y , b 2 2 , x y ,则 ab 1 2 1 2 , x x y y . 2 设 a 1 1 , x y , b 2 2 , x y ,则 a-b 1 2 1 2 , x x y y . 3 设 A 1 1 , x y , B 2 2 , x y , 则 2 1 2 1 , AB OB OA x x y y . 4 设 a , ,x y R ,则 a , x y . 5 设 a 1 1 , x y , b 2 2 , x y ,则 a2 b 1 2 1 2 x x y y . 8. 两向量的夹角 公式 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y y x y x y a 1 1 , x y , b 2 2 , x y . 9. 平面两点间的距离公式 A 1 1 , x y , B 2 2 , x y . ,A Bd | |AB AB AB 2 2 2 1 2 1 x x y y 10. 向量的平行与垂直 设 a 1 1 , x y , b 2 2 , x y ,且 b 0, 则 A|| b bλ a 1 2 2 1 0x y x y . a ba 0 a2 b0 1 2 1 2 0x x y y . 11. “按向量平移” 点 , P x y 按向量 a , h k 平移后得到点 , P x h y k . 23. 直线方程(重点章节) 看 132 至 135 页例 1、 2、 3 1.直线的五种方程 ( 1)点斜式 1 1 y y k x x 直线 l 过点 1 1 1 , P x y ,且斜率为 k . ( 2)斜截式 y kx bb 为直线 l 在 y 轴上的截距 . ( 3)两点式 1 2y y 1 1 1 , P x y 、 2 2 2 , P x y 1 2x x . 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x 4 截距式 1x y a b a b、 为直线横纵截距, 0a b、 ( 5)一般式 0Ax By C 其中 A、 B 不 同时为 0. 2两条直线的平行和垂直 1若 1 1 1l y k x b , 2 2 2l y k x b ① 1 2 1 2 1 2|| ,l l k k b b ;② 1 2 1 2 1l l k k . 2 若 1 1 1 1 0l A x B y C , 2 2 2 2 0l A x B y C , 且 A 1 、 A 2 、 B 1 、 B2 都 不 为 零 , ① 1 1 1 1 2 2 2 2 || A B Cl l A B C ;② 1 2 1 2 1 2 0l l A A B B ; 3.点到直线的距离 0 02 2| |Ax By Cd A B 点 0 0 , P x y ,直线 l 0Ax By C . 4. 圆的四种方程 做一做第 153 页练习 1、 2、 3 ( 1)圆的标准方程 2 2 2 x a y b r . ( 2)圆的一般方程 2 2 0x y Dx Ey F 2 2 4D E F > 0. 5. 直线与圆的位置关系 直线 0CByAx 与圆 222 rbyax 的位置关系有三种 0相离rd ; 0相切rd ; 0相交rd . 其中 22 BA CBbAad . 二.基础知识 一 椭圆及其标准方程 p159 例 1、例 2 1. 椭圆的定义 椭圆的定义中, 平面内动点与两定点 1F 、 2F 的距离的和大于 | 1F 2F | 这个条件不可忽视 . 若这个距离之和小于 | 1F 2F | ,则这样的点不存在;若距离之和等于 | 1F 2F | ,则动点的轨 迹是线段 1F 2F . 2. 椭圆的标准方程 ( a > b > 0) 12 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 3. 椭圆的标准方程判别方法判别焦点在哪个轴只要看分母的大小如果 2x 项的分母大于 2y 项的分母,则椭圆的焦点在 x 轴上,反之,焦点在 y 轴上 . 3 椭圆的简单几何性质 ( a > b > 0) . 椭圆的几何性质设椭圆方程 1 2 2 2 2 b y a x 线段 1A 2A 、 1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴 . 它们的长分别等于 2a 和 2b, 离心率 a ce 2 21 be a 0 < e< 1.e 越接近于 1 时, 椭圆越扁; 反之, e 越接近于 0 时, 椭圆就越接近于圆 . 4 双曲线及其标准方程 p167 例 1、例 2 双曲线的定义平面内与两个定点 1F 、 2F 的距离的差的绝对值等于常数 2a(小于 | 1F 2F | )的动点 M 的轨迹叫做双曲线 . 在这个定义中,要注意条件 2a< | 1F 2F | ,这一条 件可以用 “三角形的两边之差小于第三边” 加以理解 . 若 2a| 1F 2F | , 则动点的轨迹是两条 射线;若 2a> | 1F 2F | ,则无轨迹 . 若 1MF < 2MF 时,动点 M 的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若 1MF > 2MF 时,轨 迹为双曲线的另一支 . 而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值” . 双曲线的标准方程判别方法是如果 2x 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上;如果 2y 项 的系数是正数,则焦点在 y 轴上 . 对于双曲线, a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样,通过 比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上 . 5. 双曲线的简单几何性质 双曲线 12 2 2 2 b y a x 实轴长为 2a, 虚轴长为 2b, 离心率 a ce 2 21 b a 离心率 e 越大, 开口越大 . 双曲线 12 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为 x a by 或表示为 0 2 2 2 2 b y a x . 若已知双曲线 的 渐 近 线 方 程 是 x n my , 即 0nymx , 那 么 双 曲 线 的 方 程 具 有 以 下 形 式 kynxm 2222 ,其中 k 是一个不为零的常数 . 双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 )若双曲线方程为 12 2 2 2 b y a x 渐近线方程 2 2 2 2 0 x y a b xa by . 2 若渐近线方程为 x a by 0 b y a x 双曲线可设为 2 2 2 2 b y a x . 3 若双曲线与 12 2 2 2 b y a x 有公共渐近线,可设为 2 2 2 2 b y a x ( 0 ,焦点在 x 轴上, 0 ,焦点在 y 轴上) . 抛物线 p175 页表格, 176 页例 1、例 2、例 4 数学模拟试题(文史财经类) 一、选择题( 17 小题,每小题 5 分共 85 分) 1、 设集合 A{0 , 3} , B{0 , 3, 4} , C{1 , 2, 3} , 则 B∪ C∩ A__________ A 、 {0,1,2,3,4} B 、空集 C 、 {0,3} D 、 {0} 2、非零向量 a∥ b 的充要条件 ___________________ A 、 ab B 、 a-b C 、 a b D 、 存在非零实数 k,akb 3 、二次函数 yx 24x1 的最小值是 _________________ A 、 1 B 、 -3 C 、 3 D 、 -4 4 、在等差数列 {a n} 中 , 已知 a1- 2 3 ,a 61 则 __________ A 、 a 30 B 、 a 4 0 C 、 a 5 0 D 、 各项都不为零 5 、函数 yx32sinx__________ A 、 奇函数 B 、 偶函数 C 、 非奇非偶函数 D、 既是奇函数又是偶函数 6 、已知抛物线 yx2 在点 x2 处的切线的斜率为 ___________ A 、 2 B 、 3 C 、 1 D 、 4 7 、直线 L 与直线 3x-2y10 垂直,则 1 的斜率为 __________ A 、 3/2 B -3/2 C 、 2/3 D 、 -2/3 8 、已知 a ( 3, 2) b -4,6, 则 a b ____________ A 、 4 B 、 0 C 、 -4 D 、 5 9 、双曲线 9 2y - 5 2x 1 的焦距是 ___________ A 、 4 B 、 14 C 、 2 14 D 、 8 10 、从 13 名学生中选出 2 人担任正副班长,不同的选举结果共有() A 、 26 B 、 78 C 、 156 D 、 169 11 、若 fx1x 22x, 则 fx_________ A 、 x2-1 B 、 x22x1 C 、 x22x D 、 x 21 12 、设 tanx 4 3 , 且 cosx0, 则 cosx 的值是 _______ A 、 - 5 3 B 、 5 3 C 、 5 4 D 、 - 5 4 13 、已知向量 a,b 满足 a 4, b 3,30 0 则 ab A 、 3 B 、 6 3 C 、 6 D 、 12 14 、函数 ysin3x 4 的最小正周期 ________ A 、 3 B 、 C 、 3 2 D 、 3 15 、直线 2x-y70 与圆( x-1 ) 2y1 220 A 、相离 B 、相切 C 、相交但直线不过圆心 D 、相交且直线过圆心 16、已知二次函数 yx2ax-2 的对称轴方程为 x1, 则函数的顶点坐标 ______ A.( 1, -3 ) B. ( 1, -1 ) C. ( 1, 0) D ( -1 , -3 ) 17、椭圆 9x216y2144 的焦距为 _______ A 、 10 B 、 5 C 、 2 7 D 、 14 二、填空题( 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 1 、函数 y㏒ 26-5x-x 2 的定义域 ____________ 2 、不等式 53x 8 的解集是 _______________ 3 、 已知 A( -2 , 1) B、 ( 2, 5) , 则线段 AB的垂直平分线的方程是 ____________ 4 、某篮球队参加全国甲级联赛,任选该队参赛的 10 场比赛,其得分情况如 下 99 , 104, 87, 88, 96, 94, 100, 92, 108, 110,则该队得分的样本方差 为 ______ 三、解答题( 4 小题,共 45 分) 1 、求函数 yx4-2x 25 在区间 [-2 , 2] 上最大值和最小值 ( 10 分) 2 、设 {an} 为等差数列, Sn 表示它的前 n 项和,已知对任何正整数 n 均有 Sn 6 2 na 2 3 n, 求数列 {an} 的公差 d 和首项 a 1 ( 10 分) 3、 已知直线在 X 轴上的截距为 -1 , 在 Y轴上的截距为 1, 对抛物线 yx2bxc 的顶点坐标 ( 2, -8 ) , 求直线和抛物线两个交点横坐标的平方和。 ( 12 分) 4 、设点 P是双曲线 3x2-y 23 右支上一点, F1、 F2、分别是双曲线的左、右焦 点,△ PF1F2周长为 10,求 tanPF1F2的值。 ( 13 分)

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