欢迎来到吾爱文库! | 帮助中心 分享价值,成长自我!
吾爱文库
全部分类
  • 商业/管理/HR >
    商业/管理/HR
    商业计划书 创业/孵化 市场营销 经营企划 销售管理 营销创新 宣传企划 资本运营 代理连锁/招商加盟 商业合同/协议 公司方案 企业信息化/信息管 管理学资料 企业文档 广告经营 财务报表 项目/工程管理 物业管理 质量控制/管理 企业文化 绩效管理 商务礼仪 励志书籍/材料 人事档案/员工关系 薪酬管理 招聘面试 咨询培训 劳动就业 劳务/用工合同 其它文档
  • 办公文档 >
    办公文档
    PPT模板库 总结/报告 演讲稿/致辞 心得体会 工作范文 述职报告 工作计划 解决方案 调研报告事务文书 经验/事迹 往来文书 模板/表格 规章制度 教学/培训 通知/申请 求职简历 理论文章 统计图表礼仪/庆典 活动策划 会议纪要 招标投标 其它办公文档
  • 高等教育 >
    高等教育
    大学课件 研究生课件 工学 理学 习题/试题 历史学 农学 教育学 哲学 科普读物 政治/理论 专业基础教材 生物学 语言学 微积分 统计学 实验设计 其它相关文档
  • 中学教育 >
    中学教育
    教学课件 高考 中考 高中教育 初中教育 职业教育 中学学案 中学作文 中学实验 高考英语 试题/考题 竞赛题 教学研究 体育理论与教学 音乐美术 视频课件/素材 其它中学文档
  • 医学/心理学 >
    医学/心理学
    基础医学 药学 中医/养生 医学研究方法 心理学理论/研究方 医学试题/课件 心理学论文 心理咨询与治疗 医学现状与发展 心理学书籍 外科学 内科学 妇产科学 神经内外科 烧伤科 眼科学 口腔科学 皮肤病学/性病学 耳鼻咽喉科学 神经病/精神病学 肿瘤学 儿科学 骨科学 康复医学 麻醉学 护理学 检验医学 针灸学 预防医学/卫生学 重症医学 病毒学 外国及民族医学 特种医学 心理健康教育 医学影像 兽医 偏方 综合/其它
  • 资格认证/考试 >
    资格认证/考试
    公务员考试 专升本考试 建造师考试 教师资格考试 全国翻译资格认证 成考 自考 司法考试 微软认证 网络工程师认证 注册会计师 医师/药师资格考试 会计职称考试 报关员资格考试 人力资源管理师 安全工程师考试 出国培训 资产评估师考试 技工职业技能考试 银行/金融从业资格 计算机等级考试 营养师认证 物流师考试 证券从业资格考试 注册税务师 理财规划师 建筑师考试 质量管理体系认证 其它考试类文档
  • 行业资料 >
    行业资料
    食品饮料 化学工业 展会/博览会 国内外标准规范 造纸印刷 纺织服装 家居行业 酒店餐饮 物流与供应链 室内设计 工业设计 家电行业 生活/日用品 航海/船舶 水产/渔业 传媒/媒体 公共安全/评价 畜牧/养殖 林业/苗木 园艺/花卉 农作物 轻工业/手工业 教育/培训 零售业 水利工程 农业工程 系统集成 冶金工业 金属学与工艺 社会学 武器工业 能源与动力工程 原子能技术 文化创意 航空/航天 石油/天然气工业 矿业工程 交通运输 旅游娱乐 实验/测试 其它行业文档
  • 经济/贸易/财会 >
    经济/贸易/财会
    经济学 资产评估/会计 贸易 市场分析 网络营销/经济 商品学 进出口许可 财政/国家财政 税收 稽查与征管/审计 综合/其它
  • 电子/通信 >
    电子/通信
    电子设计/PCB 电子电气自动化 数据通信与网络 光网络传输 无线电电子学/电信 网规网优 核心网技术 运营商及厂商资料 WiMAX技术 TD-SCDMA技术 3G/4G及新技术 CDMA95/CDMA2000/EV WCDMA技术 GSM/GPRS/EDGE 天线/微波/雷达 监控/监视 室内分布 视频会议 考试/面试试题 综合/其它
  • 生活休闲 >
    生活休闲
    服装配饰 美食烹饪 户外/运动 摄影摄像 家居装修 娱乐/时尚 保健/养生 两性/情感 时政新闻 科普知识 社会民生 星座/运势/宗教/风 美容/塑身 婚嫁/育 琴棋书画 游戏攻略 期刊/杂志 留学/签证 手工制作 滑稽幽默 网络生活 武术 彩票 宠物 充电交流 综合/其它
  • IT计算机/网络 >
    IT计算机/网络
    计算机应用/办公自 .NET 数据结构与算法 Java SEO/搜索引擎优化 C/C++资料 linux/Unix相关 手机/mobile开发 UML理论/建模 云计算/并行计算 嵌入式开发/单片机 Windows相关 软件工程 管理信息系统 开发文档 图形图像 网络与通信 网络安全 电子支付 Labview matlab 网络资源 Python Delphi/Per 评测 Flash/Flex CSS/Scr 计算机原理 PHP资料 数据挖掘与识别 Web服务 数据库 VisualBasic 电子商务 服务器 存储 架构 行业软件 人工智能 计算机辅助设计 多媒体应用 软件测试 计算机硬件与维护 网站策划/UE 网页设计/UI 网吧管理 其它相关文档
  • 研究报告 >
    研究报告
    信息产业 农林牧渔 统计年鉴/数据分析 商业贸易 产业政策 石油化工 金融 教育 冶金 轻工 交通 制药行业 安防行业 煤炭 新能源 国防军事 技术指导 综合/其它
  • 换一换
    首页 吾爱文库 > 资源分类 > PDF文档下载
     

    大学微积分课件(免费)123313.pdf

    • 资源ID:3593       资源大小:1.69MB        全文页数:97页
    • 资源格式: PDF        下载权限:游客/注册会员/VIP会员    下载费用:0金币 【人民币0元】
    快捷注册下载 游客一键下载
    会员登录下载
    三方登录下载: QQ登录   微博登录  
    下载资源需要0金币 【人民币0元】
    邮箱/手机:
    温馨提示:
    系统会自动生成账号(用户名和密码都是您填写的邮箱或者手机号),方便下次登录下载和查询订单;
    验证码:   换一换

    加入VIP,下载共享资源
     
    友情提示
    2、PDF文件下载后,可能会被浏览器默认打开,此种情况可以点击浏览器菜单,保存网页到桌面,既可以正常下载了。
    3、本站不支持迅雷下载,请使用电脑自带的IE浏览器,或者360浏览器、谷歌浏览器下载即可。
    4、本站资源下载后的文档和图纸-无水印,预览文档经过压缩,下载后原文更清晰   

    大学微积分课件(免费)123313.pdf

    定积分 第一节 定积分的概念与性质 a b x y o A 曲边梯形由连续曲线 实例 1 (求曲边梯形的面积) xfy  0 xf 、 x 轴与两条直线 ax  、 bx  所围成 . 一、问题的提出 xfy  a b x y oa b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近 曲边梯形面积. (四个小矩形) (九个小矩形) 曲边梯形如图所示, , ],[ 1210 bxxxxxa ba nn  个分点, 内插入若干在区间 a b x y o i ix1x 1ix 1nx ; ],[ ],[ 1 1    iii ii xxx xx nba 长度为 ,个小区间 分成把区间 ,上任取一点 在每个小区间 i ii xx  ],[ 1 iii xfA   为高的小矩形面积为为底,以 ],[ 1 iii fxx  i n i i xfA    1  曲边梯形面积的近似值为 i n i i xfA    lim 10   12 , m a x{ , , } 0 0 n x x x x x x             当 分 割 无 限 加 细 记 小 区 间 的 最 大 长 度 或 者 趋 近 于 零 或 者 时 , 曲边梯形面积为 实例 2 (求变速直线运动的路程) 设某物体作直线运动,已知速度 tvv  是 时间间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数,且 0 tv ,求物体在这段时间内所经过的路程 . 思路 把整段时间分割成若干小段,每小段上 速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便 得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值. ( 1)分割 212101 TtttttT nn   1 iii ttt iii tvs   部分路程值 某时刻的速度 ( 2)求和 ii n i tvs    1  ( 3)取极限 },,,m ax{ 21 nttt   i n i i tvs    l i m 10   路程的精确值 设函数 xf 在 ],[ ba 上有界, 记 12m a x { , , , }nx x x x    , 如果不论对 ],[ ba 在 ],[ ba 中任意插入 若干个分点 bxxxxxa nn   1210  把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间,各小区间的长度依次为 1 iii xxx , ,2,1 i ,在各小区间上任取 一点 i ( ii x ),作乘积 ii xf   ,2,1 i 并作和 ii n i xfS    1  , 二、定积分的定义 定义 怎样的分法,  ba Idxxf ii n i xf   l i m 10   被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量 积分区间],[ ba 也不论在小区间 ],[ 1 ii xx  上 点 i 怎样的取法, 只要当 0x 时, 和 S 总趋于 确定的极限 I ,我们称这个极限 I 为函数 xf 在区间 ],[ ba 上的 定积分 ,记为 积分上限 积分下限 积分和 注意 ( 1 ) 积分值仅与被积函数及积分区间有关, ba dxxf  ba dttf  ba duuf ( 2 )定义中区间的分法和 i 的取法是任意的 . ( 3 )当函数 xf 在区间 ],[ ba 上的定积分存在时, 而与积分变量的字母无关 . 称 xf 在区间 ],[ ba 上 可积 . 当函数 xf 在区间 ],[ ba 上连续时,定理 1 定理 2 设函数 xf 在区间 ],[ ba 上有界, 称 xf 在区间 ],[ ba 上可积 . 且只有有限个 第 一 类 的 间断点, 则 xf 在 三、存在定理 区间 ],[ ba 上可积 . ,0 xf  ba Adxxf 曲边梯形的面积 ,0 xf  ba Adxxf 曲边梯形的面积的负值 1A 2A 3A 4A 4321 AAAAdxxf b a     四、定积分的几何意义 几何意义 积取负号. 轴下方的面在轴上方的面积取正号;在 数和.之间的各部分面积的代直线 的图形及两条轴、函数它是介于 xx bxax xfx  ,    例 1 利用定义计算定积分 .10 2dxx 解 将 ]1,0[ n 等分,分点为 n ix i  , ni ,,2,1  小区间 ],[ 1 ii xx  的长度 nx i 1 , ni ,,2,1  取 ii x , ni ,,2,1  ii n i xf   1  ii n i x   2 1  , 1 2 i n i i xx    nn in i 12 1           n i in 1 2 3 1 6 1211 3  nnn n ,121161    nn 0xn     dxx10 2 ii n i x   2 10 l i m       nnn 121161lim .31 五、定积分 的性质 证  ba dxxgxf ][ iii n i xgf    ][l i m 10   ii n i xf    lim 10   ii n i xg    l i m 10    ba dxxf . ba dxxg  ba dxxgxf ][  ba dxxf  ba dxxg . (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) 性质 1   baba dxxfkdxxkf k 为常数 . 证 ba dxxkf ii n i xkf    l i m 10   ii n i xfk    l i m 10   ii n i xfk    lim 10   . ba dxxfk 性质 2  ba dxxf   bcca dxxfdxxf . 补充 不论 的相对位置如何 , 上式总成立 .cba ,, 例 若 ,cba  ca dxxf   cbba dxxfdxxf ba dxxf   cbca dxxfdxxf .   bcca dxxfdxxf (定积分对于积分区间具有可加性) 则 假设 bca 性质 3 dxba  1 dxba ab  . 则 0  dxxfba . ba  证 ,0 xf ,0  if ,,2,1 ni  ,0 ix ,0 1    ii n i xf },,,m ax { 21 nxxx   ii n i xf    lim 10   .0  b a dxxf 性质 4 性质 5如果在区间 ],[ ba 上 0 xf , 例 1 比较积分值 dxe x  20 和 dxx  20 的大小 . 解 令 , xexf x  ]0,2[x ,0 xf ,00 2   dxxe x dxe x 02 ,02 dxx 于是 dxe x 20 .20 dxx 可以直接作出答案 性质 5的推论 证 , xgxf  ,0  xfx ,0][   dxxfxgba ,0   baba dxxfdxxg 于是 dxxfba dxxgba . 则 dxxfba dxxgba . ba  如果在区间 ],[ ba 上 xgxf  ,( 1) dxxfba dxxfba . ba  证 , xfxfxf  , dxxfdxxfdxxf bababa   即 dxxfba dxxfba . 说明 可积性是显然的 .| xf | 在区间 ],[ ba 上的 性质 5的推论 ( 2) 设 M 及 m 分别是函数 证 , Mxfm  ,   bababa M d xdxxfdxm . abMdxxfabm ba   (此性质可用于估计积分值的大致范围) 则 abMdxxfabm ba   . xf 在区间 ],[ ba 上的最大值及最小值, 性质 6 曲边梯形的面积 夹在两个矩形之间 解 ,s i n x xxf  22 c o s s i n c o s t a n 0x x x x x xfx xx     ]2,4[ x xf 在 ]2,4[  上单调下降 , 故 4x 为极大点, 2x 为极小点 , 例 2 不计算定积分 估计 的大小 dxx x  2 4 sin 2 4 2 4 2 2 2 , , 42 , 2 4 4 2 s in 2 2 , 44 1 s in 2 . 22 M f m f ba x dx x x dx x                               如果函数 xf 在闭区间 ],[ ba 上连续, 证 Mdxxfabm ba   1 abMdxxfabm ba   由闭区间上连续函数的介值定理知 则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点  , 使 dxxfba abf   . ba   性质 7( Th5.1 定积分第一中值定理) 积分中值公式 在区间 ],[ ba 上至少存在一个点  , 使 ,1  ba dxxfabf dxxfba abf   . ba   在区间 ],[ ba 上至少存在一 个点  , 即 积分中值公式的几何解释 x y o a b f 使得以区间 ],[ ba 为以曲线 xfy 底边, 为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为 f 的一个矩形的面积。 如果函数 xf , g x 在闭区间 ],[ ba 上连续, 且 g x 在闭区间 [ a,b ] 上可积且不变号 , 则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点  , 使 1 , bb aa f x g x d x f g x d x gx    当 时 即 为 Th5.1 Th5.2推广的积分第一中值定理) 设函数 xf 在区间 ],[ ba 上连续,并且设 x 为 ],[ ba 上的一点,  xa dxxf 考察定积分  xa dttf 记 .  xa dttfx 积分上限函数 如果上限 x 在区间 ],[ ba 上任意变动,则对于 每一个取定的 x 值,定积分有一个对应值,所以 它在 ],[ ba 上定义了一个函数, 六、积分上限函数及其导数 a b x y o 定理1 如果 xf 在 ],[ ba 上连续,则积分上限的函 数 dttfx x a  在 ],[ ba 上具有导数,且它的导 数是 xfdttf dx d x x a    bxa  xx  证 dttfxx xx a  xxx  dttfdttf xaxxa    x x .  xa dttfx  dttfdttfdttf xaxxxxa    ,  xxx dttf 由积分中值定理得 xf   ],,[ xxx  xx  ,0 ,fx  limlim 00 fx xx   . xfx   a b x y o xx  x x 计算下列导数       x t x t x t dtet dx d dte dx d dte dx d c o s 1 2 1 1 2 2 2 3 2 1 如果 tf 连续, xa 、 xb 可导, 则 dttfxF xb xa  的导数 xF  为 补充     xaxafxbxbf  证   dttfxF xa xb 0 0  dttfxb 0 ,0 dttfxa     xaxafxbxbfxF   xb xa dttfdxdxF 例 1 求 .lim 2 1 c o s 0 2 x dte x t x    解  1c o s 2x t dtedxd ,c o s 1 2  x t dte dx d co s2c o s   xe x ,s i n 2c o s xex  2 1 c o s 0 2 lim x dte x t x    x ex x x 2 s i nlim 2c o s 0    . 2 1 e 0 0分析 这是 型不定式,应用洛必达法则 . 定理 2(原函数存在定理) 如果 xf 在 ],[ ba 上连续,则积分上限的函 数 dttfx x a  就是 xf 在 ],[ ba 上的一个 原函数 . 定理的重要意义 ( 1)肯定了连续函数的原函数是存在的 . ( 2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系 . 定理 3(微积分基本公式) 如果 xF 是连续函数 xf 在区间 ],[ ba 上 的一个原函数,则 aFbFdxxf b a  . 又  dttfx xa 也是 xf 的一个原函数 ,  已知 xF 是 xf 的一个原函数, CxxF  ],[ bax  证 七 牛顿 莱布尼茨公式 令 ax , CaaF  0   dttfa aa , CaF  , aFxFdttfxa   , CdttfxF xa   令  bx . aFbFdxxfba  牛顿 莱布尼茨公式 aFbFdxxfba  微积分基本公式表明  baxF  一个连续函数在区间 ],[ ba 上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间 ],[ ba 上的增量 . 注意 当 ba  时, aFbFdxxfba  仍成立 . 求定积分问题转化为求原函数的问题 . 例 4 求 .1s i nc o s220   dxxx 原式   20c o ss i n2 xxx  .23  例 5 设 , 求 .     215 102 x xxxf  20 dxxf 解 解    10 2120 dxxfdxxfdxxf 在 ]2,1[ 上规定当 1x 时, 5 xf ,   10 21 52 dxxdx原式 .6 x y o 1 2 例 6 求 .},m a x {2 2 2 dxxx 解 由图形可知 },m a x { 2xxxf  , 21 10 02 2 2          xx xx xx    21 2100 2 2 dxxx d xdxx原式 .211 x y o 2xy xy 1 22 ,,],[ xfxFbaCxf  且设 则有 1. 微积分基本公式  xxfba d 积分中值定理 abF   aFbF  微分中值定理 abf  牛顿 – 莱布尼茨公式 定理 假设 ( 1 ) xf 在 ],[ ba 上连续; ( 2 )函数 tx  在 ],[  上是单值的且有连续 导数; ( 3 )当 t 在区间 ],[  上变化时, tx  的值 在 ],[ ba 上变化,且 a  、 b  , 则 有 dtttfdxxfba     ][ . 八、换元公式 证 设 xF 是 xf 的一个原函数, , aFbFdxxfba  ],[ tFt  dt dx dx dFt   txf   ,][ ttf   ,][    dtttf t 是 ][ ttf   的一个原函数 . a 、 b  ,   ][][  FF  , aFbF  aFbFdxxfba    .][ dtttf    注意 当   时,换元公式仍成立 . 应用换元公式时应注意 ( 1)求出 ][ ttf  的一个原函数 t 后,不 必象计算不定积分那样再要把 t 变换成原 变量 x 的函数,而只要把新变量 t 的上、下 限分别代入 t 然后相减就行了 . ( 2) 用 tx  把变量 x 换成新变量 t 时,积分限也 相应的改变 . 2 5 0 c o s s in .x x d x 例 1 计算 . ln 4 3 e e xx dx例 2 计算 例 1 计算 .s i nc o s20 5  xdxx 22 2 55 00 6 0 c o s s in c o s c o s c o s 1 1 0 . 6 6 6 x x d x x d x x          解 凑微分是第一类换元积分法,特点是不要明显 地换元,也就不要更换积分的上下限。 例 2 计算 解 原式 2 1 4 3 2 ln2 ln ln ln 4 3 4 3 4 3    e e e e e e x x xd xx dx . ln 4 3  e e xx dx 例 3 计算 解  23 xdx 三角代换和根式代换 例 4 计算 解  1 2 1 22 .1 1 dx xx 令 ,si n tx  1x , 2  t 2 1x 6  t ,c o s td tdx  原式 22 2 22 66 6 c o s c o t sin c o s sin c o t c o t 0 3 3 26 t d t d t t t t t                   明显换元 例 5 当 xf 在 ],[ aa 上连续,且有 ① xf 为偶函数,则     a a a dxxfdxxf 0 2 ; ② xf 为奇函数,则    a a dxxf 0 . 证 , 0 0     a a a a dxxfdxxfdxxf 在 0 a dxxf 中令 tx  ,  0 a dxxf   0 a dttf ,0 a dttf ① xf 为偶函数,则 , tftf     a a aa dxxfdxxfdxxf 00 ;2 0 a dttf ② xf 为奇函数,则 , tftf     a a aa dxxfdxxfdxxf 00 .0 在 0 a dxxf 中令 tx  , 奇函数 例 6 计算 解 .11 c o s21 1 2 2    dxx xxx 原式   1 1 2 2 11 2 dx x x   1 1 211 c o s dx x xx 偶函数   10 2 2 114 dxx x   1 0 2 22 11 114 dx x xx   10 2 114 dxx  10 2144 dxx .4  单位圆的面积 总结 1、定积分公式 2、定积分计算方法(直接代入,凑微分, 根式代换,三角代换) 3、根式和三角代换为明显的代换,所以换 元要换上下限 4、 介绍了积分上限函数 5、积分上限函数是原函数 6、计算上限函数的导数 例 7 若 xf 在 ]1,0[ 上连续,证明 ( 1 )    22 00 c o s s i n dxxfdxxf ; ( 2 )     00 s i n 2 s i n dxxfdxxxf . 由此计算   0 2 c o s1 s i n dx x xx . 证 ( 1)设 tx  2 ,dtdx  0x ,2 t 2x ,0 t  20 s i n dxxf     0 2 2 s i n dttf   20 c o s dttf ; c o s20  dxxf tx  2 ( 2) tx  ,dtdx  0x , t x ,0 t  0 s i n dxxxf   0 ][ s i n dttft , s i n0   dttft 由此计算    00 s i n2 s i n dxxfdxxxf   0 2cos1 s i n dxxxx 设   0 s i n dttf   0 s i n dtttf   0 s i n dxxf , s i n0  dxxxf .s i n2s i n 00    dxxfdxxxf   0 2cos1 s i n dxxxx    0 2cos1 s i n2 dxxx    0 2 c o sc o s1 12 xdx  0a r c t a n c o s2 x .4 2  442   0 s i n dxxxf 设函数 xu 、 xv 在区间  ba , 上具有连续 导数,则有     b a b a b a v d uuvud v . 定积分的分部积分公式 推导   ,vuvuuv    , baba uvdxuv    ,  bababa dxvudxvuuv   .  bab a b a v d uuvu d v 九、分部积分公式 例 计算 解 .ln 1 e xd x 例 2 计算 .a r c s i n210 xdx 解 令 ,a r c si n xu  ,dxdv  ,1 2xdxdu  ,xv   210 ar c s i n xdx  210arcsi n xx   2 1 0 21 x xdx 62 1  1 1 1 2 1 2 0 2 2 1 xd x   12    21 021 x .12 3 12   则 例 3 计算 解 dxxe x 1 0 例 4 计算 dxxx 1 0 c o s 例 5 计算 解  e dx x x 1 2 ln 定义 1 设函数 xf 在区间 ,[ a 上连续,取 ab  ,如果极限   b ab dxxf lim 存在,则称此极 限为函数 xf 在无穷区间 ,[ a 上的广义积 分,记作   a dxxf .  a dxxf  bab dxxf l i m 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 . 第四节 广义积分 一、无穷限的广义积分 类似地,设函数 xf 在区间 ], b 上连续,取 ba  ,如果极限   b aa dxxf l i m 存在,则称此极 限为函数 xf 在无穷区间 ], b 上的广义积 分,记作   b dxxf .  b dxxf  baa dxxf lim 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 . 设函数 xf 在区间 ,  上连续 , 如果 广义积分   0 dxxf 和   0 dxxf 都收敛,则 称上述两广义积分之和为函数 xf 在无穷区间 ,  上的广义积分,记作    dxxf .   dxxf   0 dxxf   0 dxxf  0 lim aa dxxf  bb dxxf0 l i m 极限存在称广义积分收敛;否则称广义积分发散 . 例 1 计算广义积分 解 .1s i n12 2   dxxx    2 1s i n1 2 dxxx    2 11si n xdx    2 1c o s x 100c o s2c o s1c o sl i m         xx l i m aFxF aFFxFdxxf x aa    简记为 例 1 计算广义积分 .1 2   xdx 解    21 xdx    0 21 xdx   0 21 xdx    0 21 1l i m aa dxx   bb dxx0 21 1lim  0a r c t a nl i m aa x  bb x 0a r c t a nlim  aa a r ct a nlim  bb a r c t a nl i m .22        例 3 证明广义积分   1 1 dx x p 当 1p 时收敛, 当 1p 时发散 . 证 ,11 p  1 1 dxx p   1 1 dxx    1ln x , ,12 p  1 1 dxx p        1 1 1 p x p         1, 1 1 1, p p p 因此当 1p 时广义积分收敛,其值为 1 1 p ; 当 1p 时广义积分发散 . 回顾 曲边梯形求面积的问题  ba dxxfA 第五节、定积分应用 曲 边 梯形 由连 续曲 线 xfy  0 xf 、 x 轴与两条直线 ax  、 bx  所围成。 a b x y o xfy  1、几何上的应用 面积 a b x y o xfy ii n i xfA    lim 10    b a dxxf . ba dxxf x dxx  dA 面 积 元 素 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 xxfA dd  xxfA ba d 边梯形面积为 A , O xb a y xfy  xx d x y b xa 2 xfy  1 xfy  O x xx dxxfxfA b a d][ 21  xxfxfA d][d 21  右图所示图形,面积元素为 x y o xfy  a b x y o 1 xfy  2 xfy  a b 曲边梯形的面积  ba dxxfA 曲边梯形的面积   ba dxxfxfA ][ 12 x xxx  x xxfxfA ba d 21  y b xa 2 xfy 1 xfy  O cxxfxfca d][ 21  x xx d xxfxfbc d][ 12  yyyA d c d   O x y yx  yx  d c yyy d xxfxfA d||d 21  有时也会选 y 为积分变量 yyyA d||d   例 1 计算由两条抛物线 xy 2 和 2xy  所围成的 图形的面积 . 解 ( 1)作图 ( 2)求出两曲线的交点 1,10,0 ( 3) 选 为积分变量x ]1,0[x dxxxA 210   1 0 3 33 2 2 3      xx .31 2xy  2yx  ( 4)代公式   ba dxxfxfA ][ 12 例 2 计算由曲线 xy 22  和直线 4 xy 所围 成的图形的面积 . 解 两曲线的交点 .4,8,2,2       4 22 xy xy 选 为积分变量y ]4,2[y dyyydA       24 2 .184 2  dAA xy 22 4xy 解题步骤 2 求出交点; 3 选择合适的积分变量,确定积分区间,计算。 1 画出草图; a b 例 3. 求椭圆 解 利用对称性 , xyA dd  所围图形的面积 . 有  a xyA 0 d4 利用椭圆的参数方程 π20s i nc o s  ttby tax 应用定积分换元法得  2π0 2 ds i n4 ttba ba4 21 2π baπ 当 a b 时得圆面积公式 x xx d x y O   a a x xb 0 2 d14 二、立体体积 设所给立体垂直于 x轴的截面面积为 Ax, 则对应于小区间 的体积元素为 xxAV dd  因此所求立体体积为 xxAV ba d xa bx xA 上连续 , 1. 已知平行截面面积函数的立体体积  例 1. 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心 , 并 与底面交成  角 ,  222 Ryx  解 如图所示取坐标系 ,则圆的方程为 垂直于 x轴 的截面是直角三角形 , 其面积为 t a n21 22 xRxA  RxR    R xxRV 0 22 dt a n212   32 31t a n2 xxR  0R 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . O R x y x 22 xR  ta n 22 xR  O R x , yx  yR 思考 可否选择 y 作积分变量 此时截面面积函数是什么 如何用定积分表示体积 yA 提示 ta n2 yx  22t a n2 yRy   V  R0t a n2  yyRy d22  22Rx  tan y 旋转体 就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做 旋转轴 . 圆柱 圆锥 圆台 旋转体的体积 O x y yx  当考虑连续曲线段 2][π xf 轴旋转一周围成的立体体积时 , 有 xd baV 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时 , 有 2][π y yd d cV y c d x y a bO xfy  x 2. 旋转体的体积 一般地,如果旋转体是由连续曲线 xfy  、 直线 ax  、 bx  及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体,体积为多少 取积分变量为 x , ],[ bax  x dxx x y o 旋转体的体积为 dxxfV ba 2][  xfy  类似地,如果旋转体是由连续曲线 yx  、直线 cy  、 dy  及 y 轴所围 成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体, 体积为 x y o yx  c d dyy 2][  dcV Y 轴 X 轴 a b xfy  xgy  ][π 22 xgxf  d b aV 0  xgxf ][π 22 yy   yd d c V 0  xy  x X 轴 Y 轴 yx  yx  c d a y x b 例 1. 计算由椭圆 所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积 . 解 利用直角坐标方程 则 xxa a b a dπ2 2 0 2 2 2   利用对称性      32 2 2 3 1π2 xxa a b 0 a 2 π34 ab O  aV 02 xy dπ 2 x 例 计算由两条抛物线 xy 2 和 2xy  所围成的 图形的 围绕 轴 的 旋转体 的 体积 . 解 2xy 2yx 1 2 2 2 0 xV x x d x

    注意事项

    本文(大学微积分课件(免费)123313.pdf)为本站会员(模仿成不了经典)主动上传,吾爱文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知吾爱文库(发送邮件至123456@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

    温馨提示:如果因为网速或其他原因下载失败请重新下载,重复下载不扣分。




    copyright@ 2008-2013 吾爱文库网站版权所有
    经营许可证编号:京ICP备12026657号-3

    收起
    展开