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    中南大学课件105054.ppt

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    中南大学课件105054.ppt

    Discrete LTI systems the convolution sum,Consider signal x[n] An arbitrary sequence can be representedas a linear combination of shifted unit implulses [n-k], where the weights in this linear combination are x[k]. Write as ,Discrete LTI systems the convolution sum, sifting property 筛选性 ,Discrete LTI systems the convolution sum,Let h[n] denote the response of linear system to [n]. i.e. h[n] the unit impulse response. then, each [n] of x[n]response . .,Discrete LTI systems the convolution sum,. . This result is referred to as the convolution sum, and the operation on the right-hand side of EQ. is known as the convolution sum of x[n] and h[n].,Discrete LTI systems the convolution sum,We represent the operation as y[n] x[n]  h[n] 2.7 The same, is referred to as the convolution sum of x[n] and [n]. Some notes An LTI system is completely characterized by its h[n].,Discrete LTI systems the convolution sum,The graph of convolution sum. Transform independent variable x[n], h[n]x[k], h[k] and h[k]  h[-k] Shift h[-k] n steps h[n-k]. For any n, x[k] multiplied by h[n-k] and x[k]h[n-k] .,Discrete LTI systems the convolution sum,Example 2.2 determine y[n]x[n]h[n]. Answer a,Discrete LTI systems the convolution sum,and h[k]h[-k] b Shift h[-k] to the rightn0 or to the left n0. n0, y[n]0 n0, y[0]x[0]h[0] 0.510.5 n1, y[1]x[0]h[1]x[1]h[0] 0.522.5,Discrete LTI systems the convolution sum,c For any particular value of n, we multiply these two signals and sum over all values of k . n2, y[2]x[0]h[2]x[1]h[1] 0.522.5 n3, y[3]x[1]h[2]2 n4, y[n]0,Discrete LTI systems the convolution sum,or y[n]{0.5, 2.5, 2.5, 2} n0, 1, 2, 3, The main steps of convolution sum graph reversal shift multiply sum 3 Calculation of convolution sum can be done by upright multiplication.,Discrete LTI systems the convolution sum,h[n] { 0.5 2 } 0 x[n] { 1 1 1 } 0 0.5 2 0.5 2 0.5 2 y[n] { 0.5 2.5 2.5 2 } 0,,Discrete LTI systems the convolution sum,Example 2.3 x[n] and h[n] given by determine y[n]. Answer for n0 See problem 1.54,Contiuous LTI systemsthe convolution integral,We begin by considering a pulse or “staircase” approximation, xt to a continuous signal xt. If define,Contiuous LTI systemsthe convolution integral,Then , , and the shade pulse is  , is As , written as,Contiuous LTI systemsthe convolution integral,Consequently sifting property of For the example of xtut,,Contiuous LTI systemsthe convolution integral,Let ht as the response of LTI to ,then convolution integral or superposition integral Eq. will be represented symbolically as yt xt  ht,Contiuous LTI systemsthe convolution integral,Procedure for evaluating convolution ⑴ Change time variables and reverse ⑵ Shift like this when t0 toward right ;otherwise toward left ⑶ Multiply together ⑷ Integral,Contiuous LTI systemsthe convolution integral,Compare Example 2.6 Answer,Contiuous LTI systemsthe convolution integral,Answer For t0,t,0,Contiuous LTI systemsthe convolution integral,for all t Example determine Answer,,,,,,0,yt,t,,,Contiuous LTI systemsthe convolution integral,,Contiuous LTI systemsthe convolution integral,Example 2.7 consider And then Determine,Contiuous LTI systemsthe convolution integral,Answer t3T 2 0tT 3Tt2T,Contiuous LTI systemsthe convolution integral,4 2T3T Assignment P139 2.10 , 2.11,,Properties of LTI systems,The commutative property,Properties of LTI systems,The distributive property Also,,Properties of LTI systems,The associative property,Properties of LTI systems,LTI systems with and without memory For discrete system without memory h[n]0 for n≠0 In this case where kh[0] is a constant, and convolution sum is,Properties of LTI systems,With memory h[n] ≠0 for n≠0. For continuous system without memory ht0 for t≠0 k a constant If k1, systems become identity systems, and,Properties of LTI systems,Invertibility of LTI system If then the system with is the inverse of the system with .,Properties of LTI systems,Similarly, if then system of is the inverse system of Example consider determine,Properties of LTI systems,Causality for LTI systems If h[n]0, for n0 or ht0, for t0 then the system is causal. In this case,Properties of LTI systems,Stability for LTI systems absolutely summable. absolutely integrable. Example if then is stable if isn’t stable Exercise2.28 ad,2.29ad,Properties of LTI systems,The unit step response of an LTI system The unit step response, st or s[n], corresponding to the output when x[n]u[n] or xtut,Properties of LTI systems,Assignment P139 2.12, 2.23,Causal LTI systems described by equations,Linear constant-coefficient differential equations A first-order a general Nth- order 2.109,Causal LTI systems described by equations,The response to an input xt will generally consist of the sum of a particular solution and a homogeneous solution, i.e. In order to determine yt, we must specify auxiliary conditions. We will use the condition of initial rest as auxiliary condition. That is, if xt0 for , we assume that,Causal LTI systems described by equations,4 Under the condition of initial rest , the system described by Eq. 2.109 is causal and LTI. [ determine ht from eq2. 109, see problem 2.56. ],Causal LTI systems described by equations,Linear constant coefficient difference equations The nth-order 1 In a manner exactly analogous to that for differential 2 Auxiliary condition also is initial rest, i.e if x[n]0 for nn0, then y[n]0 for n . This system is LTI and causal.,Causal LTI systems described by equations,3 Eq.2.113 can be rearranged in the form is called a recursive equation N≧1. Determine h[n] and y[n] of Eq.2.115 by means of recursion.,Causal LTI systems described by equations,Example 2.15 consider determine h[n]. Solution Let and system is initial rest, i.e , for n≦ -1 . for n≧0, infinite impulse response system,,,Causal LTI systems described by equations,Block diagram representations of first- order systems described by differential and difference equations Consider equation 2.126 Three basic operations,Causal LTI systems described by equations,Rewrite equation 2.126 as a recursive 2.127 Block diagram described by Eq.2.126,Causal LTI systems described by equations,A first-order differential equation rewrite it as Three basic operations Addition multiplication by a coefficient differentiation,Causal LTI systems described by equations,Our system can be implemented using an integrator. Assignment p148 2.38a 2.39b,Singularity functions,The unit impulse as an idealized short pulse The is ht of identity system. Equation 2.134 is a basic property of . again,Singularity functions,Similarly,the limits as of or must be unit impulses , and so on Defining the unit impulse through convolution Up to the present,  be defined as or The limits of short pulse with duration  and the area 1.,Singularity functions,Sampling or sifting property Defining the unit impulse through convolution 1. let xt1 for all t Then 2. Suppose any function xt and ft bo- unded every where and continuous at t 0 or t , then,Singularity functions,Inference And 3. is even function,Singularity functions,Show Consider integrating, and -t→t,Singularity functions,Unit doublets and other singularity function 1. Denotation Denominate kth derivative of t as Here unit doublets 2. Derivatives of t are singularity, and have following properties 1 k0, integer,Singularity functions,Example k times for unit doublet ’t u1t, if xt1,then,Singularity functions,2 If kth derivatives of xt exist and continuous at to, then,Singularity functions,Show kth derivative two side for t0,Singularity functions,3.Denominate then k0, integer Example an integrator,Singularity functions,tut unit ramp function. ht of k-times integrator cascade is For any integers k and r,Singularity functions,Example consider Example,Singularity functions,Example determine x1t*x2t,Singularity functions,Assignment P141 2.20,

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