高等数学300题（工学上）).pdf

高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 1 / 125 高等数学 300 题 1.   xx x x 2sin35 53lim 2 . 答案： 56 难度等级： 1; 知识点：等价无穷小的替换 ,有理分式函数的极限 分析 ：由于当 x 时 , xx 2~2sin ,于是    5635 253lim2s i n35 53lim 22     xxxxxx xx 2. 设函数            0 1 0 1 2 1 xax xe xf x 在 0x 处连续 ,则 a . 答案： 2 难度等级： 1; 知识点：连续函数定义 分析 ：由于 xf 在 0x 处连续 ,由连续定义 知      00000 fff  ,而     aax a x x x ea x a xfef 1 1 0 1 0 2 1 1lim1lim00,00           , 因此 112 .aee 解得 2a 3.        n n 24121 222lim  . 答案： 2 难度等级： 1; 知识点：数列极限的计算 分析 ： 11 1 111 12 24 22 4 2l i m 2 2 2 l i m 2 l i m 2 2 .n nn n n n                 4. 51  xey 的水平渐近线为 . 答案： 6y . 高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 2 / 125 难度等级： 1; 知识点：水平渐近线的定义 分析 ：由 65lim 1        xx e ,知水平渐近线为 6y 5.  xxx 2cotlim0 . 答案： 21 难度等级： 1; 知识点：等价无穷小的替换 分析 ： 212lim2t a nlim2c o tlim 000   xxxxxx xxx 6. 设 xf 在 2x 连续 ,且  23lim 2  xxfx 存在 ,则 2f . 答案： 3 难度等级： 2; 知识点：函数极限的四则运算法则 ,连续函数的定义 分析 ：由  23lim 2  xxfx 存在 ,得到    03lim 2  xfx ,从而   3lim 2  xfx ,另一方面 , 由于 xf 在 2x 连续 ,于是     3lim2 2   xff x . 7. 设当 0x 时 ,   21lncos1 xx  是比 nxxsin 高阶的无穷小 ,而 nxxsin 是 比 12xe 高阶的无穷小 ,则正整数 n 2 . 答案： 2 难度等级： 2; 知识点：等价无穷小 ,高阶无穷小的定义 分析 ：当 0x 时 ,    2142 ~1,~s i n,21~1lnc o s1 2 xexxxxxx xnn  ,故由题意 知 231  nn 8. 当 0x 时 ,   11 312 ax 与 1cos x 是等价无穷小 , 则常数 a . 高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 3 / 125 答案： 23 难度等级： 2; 知识点：等价无穷小的定义 ,等价无穷小的替换 分析 ：由于当 0x 时 ,  2312 31~11 axax  , 221~1cos xx  ,于是   a x ax x ax xx 3 2 2 13 1 lim1c o s 11lim 2 2 0 3 12 0    ,又   11 312 ax 与 1cos x 是等价无穷 小 ,所以 132  a ,解得 23a 9.     xx x sin 2 0 31lim . 答案： 6e 难度等级： 2; 知识点：两个重要极限 分析 ：     6s i n631 0s i n 2 0 31lim31lim exx xxx xxx       10. 设 ba0 ,则   n nnn balim . 答案： b 难度等级： 2; 知识点：夹逼准则 分析 ：由于 bbab nn nn 2 ,且 bbn n  2lim ,故 bban nn n lim 11. 已知   ,2 3lim0  xf xx 则    xxfx 2lim0 . 答案： 121 难度等级： 2; 知识点：函数极限的四则运算法则 分析 ：由   2 3lim0  xf xx 知 ,   6 33lim0  xf xx ,从而   61lim 0  xxfx ,即   6122lim 0  xxfx , 故   1212lim 0  x xfx 12. 函数   23 1 2 2   xx xxf 的无穷间断点为 . 高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 4 / 125 答案： 2x 难度等级： 2; 知识点：无穷间断点的定义 分析 ： 由 于 函 数 xf 的间断点为 2,1x 且      221 11lim23 1lim 12 2 1     xx xxxx x xx ,           21 11lim23 1lim 22 2 2 xx xxxx x xx ,故函数的无穷间断点为 2x . 13.    x xxxx 2s in1s inlim 220 . 答案： 2 难度等级： 2; 知识点：无穷小的性质 ,第一个重要极限 分析 ： 2202 2 2s i nlim1s i nlim2s i n1s i nlim 0220220    x xxxx xxx xxx 14.    nnn nnnnnn 222 2211lim  . 答案： 21 难度等级： 2; 知识点：夹逼准则 分析 ：由          12 112 122112 12 1 2222222      nn nnnn nnnnn nnnnnnnn nnnnn nn  且       2112 1lim,212 1lim 22     nn nnnnn nn nn 根据数列极限的夹逼准则知 ,所 求数列极限为 21 . 15.      xx x 2 0 1ln1lim . 答案： 2e 难度等级： 3; 知识点：第二个重要极限 ,等价无穷小 高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 5 / 125 分析 ：           21ln21ln 1 0 2 0 1ln1lim1ln1lim exx x xx xxx    16. 设 bx xaxx x    2 632lim 23 2 ,则 a , b . 答案： 11,4  ba 难度等级： 3; 知识点：函数极限的四则运算法则 分析 ：由 bx xaxx x    2 632lim 23 2 且   02lim 2  xx ,有   0632lim 23 2  xaxxx , 即 066416  a ,故 4a ,代入极限式 中       1132lim2 2322lim2 6342lim 2 2 2 2 23 2     xx xxxx xxxb xxx 17. 若  xf x lim 存在 ,且    xfx xxf x   lim2s in ,则 xf . 答案： 2sin x x 难度等级： 3; 知识点：函数极限的计算 分析 ：设  axf x lim , 则    xfx xxf x   lim2s in 两边求极限得： ax xa x 2sinlim    ,由此 1sinlim    x xa x ,即 1a ,所以   2sin  x xxf 18. 设当 xxxx ln1231 2  时， 与  nx 1 为同阶无穷小 , 则 n . 答案： 23 难度等级： 3; 知识点：同阶无穷小的定义 ,等价无穷小的替换 分析 ：          nunu nxnx u u u uuuxu x xxx x xxx 2 3 00 1 2 1 lim21ln43lim1 1 11ln113lim 1 ln123lim          令 , 高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 6 / 125 当 23n 时 ,其极限等于 2,故取 23n 19. 曲线     ty ttx cos1 sincos 2 上对应于 4t 的点处的法线斜率为 . 答案 ： 12 难度等级： 1;知识点 ：参数方程所确定的函数的求导 ,导 数的几何应用 . 分析 先利用参数方程所确定函数的求导法则求出导数 ,再求法线的 斜率 . 解 12 1c o ss i n2s i n s i ndd 44     tt ttt txy ,所求法线的斜率为 12 . 20. 曲线 xy ln 上与直线 1yx 垂直的切线方程为 . 答案 ： 1xy 难度等级： 1; 知识点 ：导数的几何应用 . 分析 先求函数的导数为 1 的点 ,再求切线方程 . 解 直线 1yx 的斜率为 1 ,从而曲线的切线斜率为 1.由 11 xy ,得 1x ,这时 01ln y ,即点 )0 , 1( 处的切线与直线 1yx 垂直 ,故所求切 线方程为 1xy . 21. 已知 4)()2(lim 00 0  h xfhxfh ,则  )( 0xf . 答案 ： -2 难度等级： 1; 知识点 ：导数的定义 . 分析 利用导数定义求出极限 ,再确定 )(0xf 的值 . 解 4)(2 2 )()2(lim2)()2(lim 0000000    xfh xfhxfh xfhxf hh ,故 2)( 0  x . 22. 已知 6)2( f ,则   h fhfh 2 )2()2(lim0 . 答案 ： -3 高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 7 / 125 难度等级： 1; 知识点 ：导数的定义 . 分析 利用导数定义求出极限 . 解 36 21)2(21)2()2(lim212 )2()2(lim 00    fh fhfh fhf hh . 24. 设函数 )(xfy 由方程 1)cos(2  exye yx 所确定 ,则曲线 )(xfy 在  1 , 0 处的法线方程为 . 答案 ： xy 211 难度等级： 2; 知识点 ：隐函数的求导 ,导数的几何应用 . 分析 利用隐函数的求导法则先求出导数 ,再给出曲线的法线方程 . 解 方程两边同时对 x 求导 ,得 0))(s in ()2(2  yxyxyye yx ,解之得 )s in ( )s in (2 2 2 xyxe xyyey yx yx    ,所以 2 )1 , 0( y ,法线的斜率为 21 ,故法线方程为 xy 211 . 25. 设函数 )(xyy 由参数方程     23 )1ln( tty ttx 所确定 ,则  22ddxy . 答案 ： t tt )1)(56(  难度等级： 2; 知识点 ：参数方程所确定的函数的求导 ,高阶导数 . 分析 利用由参数方程所确定的函数的求导法则逐阶求出二阶导数 . 解 253 1 11 23dd 22    tt t ttxy , t tt t t x y )1)(56( 1 11 56 d d 22    . 26. 设函数 )(xyy 由方程 yxxy 2 所确定 ,则 0d xy . 答案 ： xd )12(ln  难度等级： 2; 知识点 ：导数的四则运算 ,隐函数的求导 ,复合函数的求导 ,微分的定义 . 分析 利用隐函数和复合函数的求导法则求出导 数 ,再求微分 . 高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 8 / 125 解 方程两边同时对 x 求导 ,得 yyxyxy  1)( 2ln2 ,解之得 12ln2 2ln21  x yy xy xy , 当 0x 时 1y ,则 12ln0  xy ,故 0d xy xd )12(ln  . 27. 设 )(xf 在 0x 处可导 ,则   x xxfxxfx 3 )()(lim 000 . 答案 ： )(32 0xf 难度等级： 2; 知识点 ：导数的定义 ,极限的四则运算 . 分析 利用导数定义和极限的四则运算求出极限 . 解   x xxfxxfx 3 )()(lim 000    x xfxxfx xfxxfx )()(31)()(31lim 00000 . x xfxxfx xfxxf xx    )()(lim31)()(lim31 000000 )(32)(31)(31 000 xfxfxf  . 28. 设 )(xf 在 0x 处可导 ,且 0)( 0  xf ,则   )()2(lim 000 xxfxxf xx . 答案 ： )(10xf 难度等级： 2; 知识点 ：导数的定 义 ,极限的四则运算 . 分析 利用导数定义和极限的四则运算求出极限 . 解   )()2(lim 000 xxfxxf xx x xfxxfx xfxxfx    )()(2 )()2(2 1lim 00000 )(1)()(2 1 000 xfxfxf  . 29. 设 )(xf 存在 ,则   h hxfhxfh )3()2(lim 0 . 答案 ： )(5 xf 难度等级： 2; 知识点 ：导数的定义 ,极限的四则运算 . 分析 利用导数定义和极限的四则运算求出极限 . 解   h hxfhxfh )3()2(lim 0    h xfhxfh xfhxfh 3 )()3(32 )()2(2lim 0 . )(5)(3)(2 xfxfxf  . 高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 9 / 125 30. 设函数 )(xf 在 0xx 处可导 ,且当 0x 时 , )()( 00 xfxxfy  与 xxx  )cos2(tan 是等价无穷小 ,则  )( 0xf . 答案 ： -2 难度等级： 2; 知识点 ：导数的定义 ,等价无穷小的定义 ,极限的四则运 算 . 分析 利用等 价无穷小的定义、导数的定义和极限的运算法则求出 )( 0xf . 解 由已知 , 1 c o s2t a n 1lim)c o s2( t a nlim 00     xxxyxxx y xx , 即 120 1)( 0  xf ,故 2)( 0  xf . 31. 设函数 32 1 xy ,则 )0()(ny . 答案 ： nnn   323 !)1( 难度等级： 3; 知识点 ：间接法求高阶导数 . 分析 利用 1 )( !)1(1  n nn x nx 间接求出 32 1 xy 的 n 阶导数 . 解 23 12132 1  xxy , 由 1 )( !)1(1  n nn x nx 可得 1)( 2 3 !)1( 2 1        n nn x ny , 所以 nnn ny   323 !)1()0()( . 32. 设 xxy )sin1(  ,则 xyd . 答案 ： xd  难度等级： 3;知识点 ：对数求导法 ,导数的四则运算 ,复合函数的求导 , 微分的定义 . 分析 利用对数求导法求出导数 ,再求微分 . 高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 10 / 125 解 两边取对数 ,有 )sin1ln(ln xxy  ,方程两边同时对 x 求导 ,得 xxxxyy si n1 c o s)si n1l n (  ,    xxxxxy x si n1 c o s)si n1l n ()si n1( ,   xy ,故 xy x d d   . 32. 设 )(xf 在 2x 处连续 ,且 32)(lim 2  x xfx ,则  )2(f . 答案 ： 3 难度等级： 3; 知识点 ：连续的定义 ,导数的定义 ,极限的四则运算 . 分析 由 32)(lim 2  x xfx 和函数在 2x 处连续 ,求出 )2(f 的值 ,再用导数定义 求出 )2(f . 解 因为 32)(lim 2  x xfx ,而 0)2(lim 2  xx ,所以 0)2( 2)(lim)(lim 22    xx xfxf xx . 又因为 )(xf 在 2x 处连续 , 由连续的定义有 , 0)(lim)2( 2   xff x . 故  )2(f 3 2)(lim2 )2()(lim 22   x xfx fxf xx . 32. 设 0)0( f , 1)0( f ,则   20 sin )cos1(lim x xfx . 答案 ： 21 难度等级： 3;知识点 ：导数的定义 ,极限的四则运算 ,等价无穷小 . 分析 利用导数定义、极限的四则运算和等价无穷小的替换求出极 限 . 解 当 0x 时 , 0cos1  x ,且 221~cos1 xx , 22 ~sin xx ,故  20 sin )cos1(lim x xfx    20 si nc o s1c o s1 )0()c o s1(lim x xx fxfx 21)0(212 1 limc o s1 )0()c o s1(lim 2 2 00    fx x x fxf xx . 33. 设 x x tx txttf    lim)( ,则  )(tf . 答案 ： tet 2)21(  高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 11 / 125 难度等级： 3; 知识点 ：极限的运算法则 ,重要极限 ,导数的四则运算 ,复合函数的求导 . 分析 先利用极限的运算法则和重要极限求出函数的表达式 ,再利用 导数的四则运算 法则和复合函数的求导法则求出函数的导数 . 解 因为 x x tx tx   lim                      ttt tx x x x tx t tx t tx ttx 2121lim2 lim 2 2 ttt x t t tx x eetx t tx t 22 2 2 121lim21lim                   ,所以 tx x tetx txttf 2lim)(    , 故 ttt etteetf 222 )21(2)(  . 34. 设曲线 )(xfy 与曲线 xxy 3 在点 )0 ,1( 处有公共切线 , 则   31lim nnnfn . 答案 ： 4 难度等级： 3; 知识点 ：导数的运算法则 ,导数的几何应用 ,可导与连续的关系 ,连续的 定义 ,导数 的定义 ,极限的运算法则 . 分析 由于两曲线在 )0 , 1( 处有公共切线 ,所以两个函数在 1x 处的导数 值相等 ,且 0)1( f .由 )(xf 在 1x 处可导 ,从而连续 ,再用导数的定义、极限 的运算法 则和连续的定义确定极限值 . 解 因为曲线 )(xfy 与曲线 xxy  3 在点 )0 , 1( 处有公共切线 ,所以有   2)13()1( 1213   xx xxxf , 且 0)1( f , 由于 )(xf 在 1x 处可导 ,从而连续 ,所以 0)1( 321lim   fnfn . 故 高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 12 / 125   31lim nnnfn     3213321)3(lim nfnfnn        321lim3 3 2 )1(321 lim2 nf n fnf nn 4)1(3)1(2  ff . 35. 设函数 )(xfy 由方程 xyeyx  12 所 确 定 , 则   22lim nfnn . 答案 ： 4 难度等级： 3; 知识点 ：隐函数的导数 ,导数的定义 . 分析 观察易知 2)0( f ,将所求极限变形为 n fnf n 2 )0(2 lim2    ,即需求 )0(f .利用 隐函数的求导法则求出 )(xf ,再求出 )0(f . 解 将 0x 代入方程得 , 2)0( f .方程 xyeyx  12 两边对 x 求导 ,有 )(2 yxyeyx xy  ,解之得 xyxyxe xyey   1 2 , 2 1 2)0( )2 , 0(   xy xy xe xyef . 所以    22lim nfnn 422)0(22 )0(2 lim2     f n fnf n . 36. 函数 1x 的极值点为 _______. 答案： xe 难度等级： 1;知识点：导数应用（极值） . 分析 11 21, (1 ln )xxy x y x xx  令 1 , 0 ; , 0 ;x e y x e y     高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 13 / 125 xe 是 1xyx 的最大值点 . 37. 曲线 221 2 xe   在点 1 2（ 0， ） 的曲率为 _____. 答案： 1 2 难度等级： 1;知识点：导数应用（曲率） . 分析 曲线曲率由公式   32 21 yk y   确定 ,只需求出公式中对应的项即 可 . 2 2 2 22 2 2 2 211 ,2 2 2 2x x x xxxy e y e y e e         令 ， - ； 代入曲率公式   32 21 yk y   ,得 1 2k = . 38. 曲线 sinx 在点 02（ ， ） 的曲率为 _______. 答案： 1 难度等级： 1;知识点：导数应用（曲率） . 分析 曲率 由公式   32 21 yk y   确定 ,求出公式中对应的项即可 . 解： s i n c o s , s i ny x y x y x    令 ， ； 代入曲率公式   32 21 yk y   ,得 k=1 . 39. 曲线 221 2 xe   的拐点为 _______. 答案： 1x 高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 14 / 125 难度等级： 1;知识点：导数应用（凹凸） . 分析 曲线拐点取决于二阶导数反号的点 . 2 2 2 22 2 2 2 2 211, ( 1 )2 2 2 2x x x xxxf e f e e e x             显然 , 1x 为拐点 . 40. 曲线 6 xx 的单增区间为 _______.（难度等级 1）导数的应用：单调 答案： 6x 难度等级： 1;知识点：导数应用（单调） . 分析 曲线单调性要看一阶导数的符号 . 26 1 , 6 , 0 ;y x yx     为单减区间 . 41. 极限   30 sinln 1limx xxx  _______. 答案： 16 难度等级： 1;知识点：导数应用（洛必达） . 分析 00 型重要极限 ,用洛必达法则 . 原式 2 3 2 20 0 0 1s in c o s 1 12 = 3 3 6l im l im l imx x x xx x xx x x       42. 极限 30 tan 1lim xx xxe   _______. 答案： 13 难度等级： 1;知识点：导数应用（洛必达） . 分析 00 型重要极限 ,用洛必达法则 . 原式 22 3 2 20 0 0t a n s e c 1 t a n= 33l i m l i m l i mx x xx x x xx x x   高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 15 / 125 13 43. 极限 2 30 co s 1 2 sinlimx xx x  ______. 答案： 0 难度等级： 2;知识点：导数应用（洛必达） . 分析 00 型重要 极限 ,可用洛必达法则 ,也可利用函数的泰勒公式恒等 变形化简 . 2 2 4 2 444 3 3 30 0 0 c o s 1 1 ( ) 1 ( )2 2 4 2 4 0 s inl i m l i m l i mx x x x x x x xx o x o x x x x           ！ ！ ！ 44. 极限   2 20 co s 1 2 1 sinlim xx xx ex    ______. 答案： 0 难度等级： 2;知识点：导数应用（洛必达） . 分析 00 型重要极限 ,可用洛必达法则 ,也可利用函数的泰勒公式恒等 变形化简 . 2 2 4 2 444 2 2 30 0 0 c o s 1 1 ( ) 1 ( )2 2 4 2 4 0 ( 1 ) s inl im l im l imxx x x x x x x xx o x o x e x x x x             ！ ！ ！ 45. 曲线 tan sin cosxty t t  的拐点为 _______. 答案： 0, 3xx  难度等级： 2;知识点：导数应用（凹凸） . 分析 曲线拐点取决于二阶导数反号的点 .  2 22 21,,1 1x d y xy x d x x 可 转 化 成 显 函 数 高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 16 / 125     2222 432 2 1 ( 3 ) 2 ( 3 ) 11 x x xd y x x dx xx    显然 , 0, 3xx  都是拐点 . 46. 数列  2n n 的最大项为 _______. 答案： 2 难度等级： 2;知识点：导数应用（最值） . 分析 将数列的问题转化成函数 ,对于函数就可以微分 ,从而 由导数的 性质推导出函数本身的性质 .    11 212 , 2 (1 l n 2 )xxy x y x xx  令 0 , 0 ; , 0 ;22eex y x y     2ex 是  12 xyx 的最大值点 ,再比较 1 与 2 ,知  2n n 最大项为 2 47. 极限 3 34434limx x x x    ______. 答案： 0 难度等级： 3;知识点：导数应用（泰勒公式） . 分析  型重要极限 ,可用泰勒公式变形化简 . 1 13 34 4 3 4 33343 4 ( 1 ) ( 1 )l im l imxxx x x x xx           3 3 3 31 3 3 1 4 41 ( ) 1 ( ) 034l i mx x o ox x x x        48. 不定积分 cossin xxe dx  _____ 答案： cosxec 难度等级： 1 知识点：凑微分 分析： c o s c o s c o ss i n c o sx x xx e d x e d x e c     高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 17 / 125 49. 不定积分 2 2 322x dxxx  _______ 答案：  23 3 ln 2 2x x x c    难度等级： 2;知识点：基本函数（有理）积分 分析 22 223 3 2 2 ) 6 62 2 2 2x x x xd x d xx x x x       （  22 3=3 2 222x d x xxx    23 3 ln 2 2x x x c     50. 不定积分 3 1x dxx  _______ 答案： 2 1 1 1 4 12= l n 1 a r c ta n l n 1 6 2 3 33 4 x x x x c        难度等级： 2;知识点：基本函数（有理）积分 分析 有有理函数都可唯一分解成部分分式的 和 . 3 3 2 1 1 111 3 3 3 1 1 1 1 xxxd x d x d x x x x x x           2 1 1 1 4 12= l n 1 a r c ta n l n 1 6 2 3 33 4 x x x x c        51. 不定积分 61(1 ) dxxx  ______ 答案： 6 61 ln6 (1 )x cx  难度等级： 2;知识点：基本函数（有理）积分 分析：可以直接拆开 ,也可恒等变形 . 高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 18 / 125 56 6 6 6 6 6 6 61 1 1 1 1 ln( 1 ) ( 1 ) 6 1 6 ( 1 )xxd x d x d x cx x x x x x x          52. 不定积分  2sin 2 co s 3x x d x  _____ 答案： s i n 1 0 c o s 4 c o s 6 s i n 24 8 0 1 6 2 4 1 6x x x x x c     难度等级： 2;知识点：三角函数积分 分析：通过积化和差再降次 ,将被积函数化简 .     22 s in 5 s ins in 2 c o s 3 2xxx x d x d x  22s i n 5 2 s i n s i n 5 s i n= 4x x x x dx 1 c o s 1 0 1 c o s 2c o s 6 c o s 422 = 4 xxxx dx    s i n 1 0 c o s 4 c o s 6 s i n 24 8 0 1 6 2 4 1 6x x x x x c      53. 不定积分 2cos sin =x x x dxx ______ 答案： sinx cx  难度等级： 3;知识点： 分析：被积分函数即包含幂函数又有三角函数 ,其原函数必定是此二 函数的某种组合 ,猜测出 sinx cx  54. 不定积分 2( 1) = xex dxx  ______ 答案： xe cx 难度等级： 3;知识点： 分析：被积分函数即包含幂函数又有指数函数 ,其原函 数必定是此二 函数的某种组合 ,猜测出 xe cx 高等 数学 300题 工学 类 （ 第一学期 ） CQU 19 / 125 55. 不定积分 2sin cos =x x x dxx ______ 答案： cosx cx 难度等级： 3;知识点： 分析：被积分函数即包含幂函数又有三角函数 ,其原函数必定是此二 函数的某种组合 ,猜测出 cosx cx 56. 2 0 s in xd td tdx  . 答案： 22 sinxx 难度等级： 1 ;知识点： 变上限积分函数求导 . 分析 2 2 2 2 0 s i n ( ) s i n 2 s i n xd t d t x x x xdx  57. 3 1 2 x d x  . 答案： 5 难度等级： 1 ;知识点：定积分计算 ,积分区间可加性 . 分析 3 2 3 1 1 22 ( 2 ) ( 2 ) 5x d x x d x x d x        58. 21c o s 20lim x x x e d x x     . 答案： 12e 难度等级： 1 ;知识点：变上限积分求导 ,洛必达法则 . 分析 2 21