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答案 第 2章 1) 给出以下几点的坐标： 1 a (-2.5, 3) b (1, 2) c (2.5, 2) d (-1, 1) e (0, 0) f (2, -0.5) g (-0.5, -1.5) h (0, -2) j (-3, -2) 2) 列出可以将 3D轴分配到“北”，“东”和“上”方向的 48种不同方式。确定哪 些组合是左撇子，哪些是右撇子 。 北 东 向 上 手 北 东 向 上 手 +x +y +z 剩下 +x +z +y 对 +x +y –z 对 +x +z –y 剩下 +x –y +z 对 +x –z +y 剩下 +x –y –z 剩下 +x –z –y 对 –x +y +z 对 –x +z +y 剩下 –x +y –z 剩下 –x +z –y 对 –x –y +z 剩下 –x –z +y 对 –x –y –z 对 –x –z –y 剩下 +y +x +z 对 +y +z +x 剩下 +y +x –z 剩下 +y +z –x 对 +y –x +z 剩下 +y –z +x 对 +y –x –z 对 +y –z –x 剩下 –y +x +z 剩下 –y +z +x 对 –y +x –z 对 –y +z –x 剩下 –y –x +z 对 –y –z +x 剩下 –y –x –z 剩下 –y –z –x 对 +z +x +y 剩下 +z +y +x 对 +z +x –y 对 +z +y –x 剩下 +z –x +y 对 +z –y +x 剩下 +z –x –y 剩下 +z –y –x 对 –z +x +y 对 –z +y +x 剩下 –z +x –y 剩下 –z +y –x 对 –z –x +y 剩下 –z –y +x 对 –z –x –y 对 –z –y –x 剩下 3) 在流行的建模程序 3D Studio Max中，轴的默认方向是 + x指向右侧， + y指向 前方， + z指向上方。这是左侧还是右侧的坐标空间 ？ 右手持拍。 2 第 3章 1) 为第 3.3节中描述的绵羊画一个嵌套的空间层次树，假设它的头部，耳朵，大 腿，小腿和身体都是不可思议的 。 2) 假设我们的物体轴通过绕 y轴逆时针旋转 42º，然后沿 z轴平移 6个单位，沿 x轴 平移 12个单位，将其转换为世界轴。从对象的角度描述这种转变 。 想象一下物体在物体空间中的一个点。当轴逆时针旋转时，该点实际上相对于 轴逆时针旋转。然后，当轴平移 [12,0,6]时，该点相对于轴平移 [-12,0， -6]。 3) 哪个坐标空间最适合询问以下问题？ a) 我 的电脑在我面前还是在我后面？对象空间 。如果我们知道计算机 在我们的对象空间中的位置，这个问题是检查正 z值的一个小问题。 （假设第 2.3.4节中的约定 ） b) 这 本书是我的东边还是西边？惯性空间是进行此测试的最简单空间。再 次，假设第 2.3.4节中的约定，如果书在我们的惯性空间中的位置的 x坐 标是正的，那么这本书就在我们的东边，如果这个值是负的则是西的。 或者，我们可以通过比较世界空间中书籍的 x坐标和我们自己的世界空 间 x坐标来回答世界空间中的问题 。 c) 我 如何从一个房间到另一个房间？寻路型查询通常在世界空间中 进行。 d) 我 能看到我的电脑吗？我们视点的 “相机空间 ”是用于此问题 的最自然 的坐标空间 。 第 4章 1) 让： a) 将 a， b和 c标识为行或列向量，并给出每个向量的维度 。 a是 2D行向量。 b是 3D列向量。 c是 4D列向量 。 b) 计算 by+ cw+ ax+ bz。 2) 将以下每个句子中的数量标识为标量或向量。对于矢量，给出幅度和方向。 （注意：某些方向可能是隐含的。） a) 你 有多重？重量是一个 calar数量 。 b) 你知道你的速度有多快吗？速度是标量。 c) 它 在这里以北两个街区。 “两个块北 ”是矢量，因为它指定了幅度（ “两 个块 ”）和一个方向（ “北 ”）。 d) 我 们以每小时 330英里的速度从洛杉矶飞往纽约，海拔 33,000英尺。速 度（ 600mph）是标量。然而，由于我们知道我们正在从洛杉矶前往纽 约，我们可以假设向东方向，这将提供一个方向，使其成为一个速度， 这是一个矢量。海拔（ 33,000英尺）是一个标量 。 4 3) 给出以下向量的值： 4) 将以下语句标识为 true或 false。如果该陈述是错误的，请解释原因 。 a) 图 中矢量的大小无关紧要 ;我们只需要在正确的地方画出来。假。大 小事项 ;方向也是如此。向量不表示“位置”，因此我们可以在方便 的任何地方绘制图表。见 4.2.2节 。 b) 由矢量表示的位移可以被视为一系列轴向对齐的位移。真正。请参 见第 40页的图 4.5。 c) 这些轴向对齐的 位移必须按顺序进行。假。由于向量加法的可交换性质， 它们可以以任何顺序发生。见第 40页 。 d) 向量 [x， y]给出从点（ x， y）到原点的位移 。 假 。它给出了相反的位移 - 从原点到点 。 a [0, 2] b [0, -2] c [0.5, 2] d [0.5, 2] e [0.5, -3] f [-2, 0] g [-2, 1] h [2.5, 2] j [6, 1] 第 5章 1) 评估以下向量表达式： a) b) c) d) e) 6 2) 规范化以下向量： a) b) 3) 评估以下向量表达式： a) b) 4) 计算以下几对点之间的距离： a) b) 5) 评估以下向量表达式： a) 注 意：虽然上述问题有效，但该表示法与本书中使用的表示法不同。那 是因为它包含了一个拼写错误。问题应该是： 8 b) 6) 计算向量 [1,2]和 [-6,3]之间的角度 。 从第 5.10.2节开始，我们使用点积来求解角度 ： 7) 鉴于这两个向量 将 v分成与 n垂直且平行的分量。（ n是单位向量。 ） 见 5.10.3节 。 8) 计算的价值 10 9) 一名男子正在登机。该航空公司规定，任何随身携带物品不得超过 2英尺长， 2英尺宽或 2英尺高。他有一把三英尺长的非常有价值的剑。他能够随身携带 剑。他怎么能这样做？他可以携带的最长项目是什么 ？ 这名男子能够通过对角地将剑放在一个 2英尺长， 2英尺高， 2英尺宽的立方形 盒子中登机。他可以携带的最长物品的长度是 ： 大约 41.5英寸。（当然，如今，他会被逮捕，根本不会被允许登机！这个问题 是在最近增加机场安检之前写的。 ） 10) 以数学方式验证第 57页的图 5.7。 11) 第 63页的图 5.13中使用的坐标系是左手坐标系还是右手坐标系 ？ 左撇子。 12) 假设德克萨斯州持平。一分钟的纬度约为 1.15英里。在作者的纬度（参见第 3.2.1节），经度的一分钟是近似 的 长度 0.97英里。一度纬度或经度有 60分钟。作者相隔多远 ？ 首先，我们需要将度数和分钟转换为英里数。纬度和纵向距离是： 现在，我们应用 2D距离公式（公式 5.12） ： 第七章 1) 鉴于以下矩阵： a) 对于上面的每个矩阵 A到 F，给出矩阵的维度并将矩阵标识为正方形 和 /或对角线 。 矩阵 外形尺寸 广场 对角线 A 4×3 没有 没有 B 2×2 是 是 C 2×2 是 没有 D 1×3 没有 没有 E 5×2 没有 没有 F 4×1 没有 没有 12 b) 确定是否允许以下 矩阵乘法，如 果允许，则给出结果矩阵的维数 。 c) 计算以下转置： 2) 计算以下产品： a) 未定义的 未定义 2×2 未定义未 定义 未定义 当 在 公 元 前 t E B） DFA 外形尺寸 产品 b) 3) 操纵以下矩阵乘积以删除括号： 4) 以下 2D矩阵表示什么类型的变换 ： 提取基矢量 [0， -1]和 [1,0]并在坐标网格上绘制它们，我们看到变换矩阵围 绕原点顺时针旋转 90度 。 14 第 8章 1) 构造一个围绕 x轴旋转 -22˚的矩阵。使用第 108 页的公式 8.2： 2) 构造一个围绕 y轴旋转 30˚的矩阵。使用第 108 页的公式 8.3： 3) 构造一个矩阵，将矢量从惯性空间转换为对象空间。从 “身份取向 ”开始， 物体围绕其 y轴旋转 30˚然 后 绕 x轴约 -22˚。 这是一个技巧问题，旨在让您考虑将矢量从惯性旋转到对象空间时发生的确 切情况。最诱人的错误是从前面的部分中取出两个矩阵并按顺序连接它们。 但让我们考虑一下究竟发生了什么。 请记住，当我们将矢量从一个坐标空间变换到另一个坐标空间时，矢量实际上 不会移动，我们只是将它表示为不同的坐标空间。因此，让我们想象坐标空间 本身随着物体从惯性旋转到物体空间。首先，物体（及其坐标空间）围绕 y轴 旋转 30°。现在，当坐标空间正向旋转 30˚时，矢量将向负旋转 30°（相对于坐标 空间 - 记住，矢量实际上是静止的）。同样，当对象（和坐标空间）围 绕 x轴 旋转 -22°时，矢量将正向旋转 22°（相对于坐标空间）。现在坐标空间与对象 空间一致，我们的向量在对象空间中表示 。 4) 使用惯性坐标表示对象的 z轴 。 对象空间中对象的 z轴通常是 [0,0,1]。我们的任务是将这个向量转换为惯性 空间。为此，我们将构造对象到惯性矩阵。这与惯性对象矩阵相反。回想一 下上一个练习，惯性 - 物体矩阵首先围绕 y轴旋转 -30°，然后围绕 x轴旋转 22°。 物体 - 惯性矩阵将做相反的事情：我们首先绕 x轴旋转 -22˚，然后围绕 y轴旋 转 30˚。我们可以从前两个练习中获取矩阵的值 。 请注意，对象到惯性矩阵 是我们在上一个练习中计算的惯性到对象矩阵的 转置。另外，请注意旋 转 16 围绕单个轴旋转的矩阵是相应矩阵的转置，这些矩阵围绕相同的轴旋转相反的 旋转角度。任何旋转矩阵都是 “正交的 ”，这意味着简单地通过转置矩阵来获得 逆矩阵（执行 “相反 ”旋转的矩阵）。矩阵求逆和正交矩阵将在第 9.2和 9.3节中 详细讨论 。 现在我们有了物体到惯性矩阵，我们可以通过将矢量 [0,0,1]从物体转换 到惯性空间来计算与 z轴相对应的单位矢量 ： 5) 构造一个矩阵绕 z轴旋转 164˚。使用第 109页的 公式 8.4： 6) 构造一个矩阵绕轴旋转 -5˚[99， -99,99]。 我们 将使用第 111页的公式 8.5。但是，这要求我们的旋转轴 n是单位向 量。所以我们首先将矢量 [99， -99,99]标准化以计算 n。 现在我们可以直接应用公式 8.5： 7) 构造一个矩阵，使对象的高度，宽度和长度加倍。 使用第 113页的公式 8.7： 8) 构造一个矩阵，通过垂直于矢量 [99， -99,99]的原点围绕平面缩放 5倍 。 我们将使用第 115页的公式 8.9，它要求我们的垂直向量 n被归一化。我们在练 习 6中计算了这个单位向量 。 9) 构造一个矩阵，通过垂直于矢量 [99， -99,99]的原点正交投影到平面上 。 我们应用第 117页的公式 8.16。 18 10) 构造一个矩阵，通过垂直于矢量 [99， -99,99]的原点正交反映平面 。 我们应用第 118页的公式 8.18。 矢量 [-99,99， -99]？ 这是一个棘手的问题。垂直于该矢量的平面是垂直于矢量 [99， -99,99]的相 同平面，因为两个矢量是彼此的负数。因此，可以使用相同的矩阵来反射平 面。如果检查比例，投影和反射的矩阵（分别为等式 8.9,8.16和 8.18），您 将看到在每种情况下，否定 n导致矩阵没有变化 。 11) 下面的矩阵是否表示线性变换？仿射？ 另一个技巧问题。转型既线性又亲和。从 8.8.1节开始，我们知道任何矩阵都 代表线性 变换。从 8.8.2节开始，我们知道任何线性变换都是仿射变换 。 第 9章 1) 计算以下矩阵的行列式： 我们使用第 125页的公式 9.1。 2) 计算以下矩阵的行列式，伴随和反函数： 决定因素由第 126页的公式 9.2给出 。 为了计算经典伴随，我们首先计算 M的辅助因子（参见第 9.2.1节） 。 20 现在，伴随是辅助因子矩阵的转置： 为了计算逆，我们将经典伴随除以行列式。（第 131页的公式 9.7。 ） 3) 以下矩阵是正交的吗？ 我们可以使用第 9.3.2节中的想法来测试矩阵，看它是否正交 。 矩阵不是正交的。 2恩德 ， 3路 和 7日 总和应为零， F373) 总和应为 1。 不幸的是，矩阵意图是正交的！在练习中有一个拼写错误，元素 m13 缺少一个 减号，应该是 -0.9685。通过该校正，我们再次计算九个方程式： 这一次，我们看到九个和足够接近（在我们在原始矩阵中使用的精度的公差范 围内）来考虑矩阵正交。 我为这个错误道歉。 4) 从上一个练习中反转矩阵。 如果你花时间用拼写错误来反转矩阵，那么你会感激不尽！我希望 你得到这个答案 ： 练习的目的不是为了让你磨练一堆数学，而是让你意识到由于矩阵是正交的， 因此逆是简单的转置： 5) 反转 4x4矩阵 ： 22 上一个问题的错字传播到了这个练习中。幸运的是，它并 没有真正使问题变 得更复杂，因为这个练习的目的不是要完成反转 4x4矩阵的工作，而是要意识 到你可以使用上一个练习的大部分结果 。 回忆一下第 9.4.2节（参见第 138页），当 4x4矩阵的右列为 [0,0,0,1]t时，我 们可以将矩阵分离为 3D线性变换矩阵 R和平移矩阵 T.设 M是上面的矩阵（书中 的一个，带有拼写错误）。然后我们有： 通过将 M分解成这样的组成部分，我们找到了一个用于计算 M的逆的快捷 方式。从 9.2.1（第 131页）中可以看出，矩阵乘积的逆是以相反顺序取 的逆的乘积 ： 由于 T是平移矩阵，因此 T-1 仅仅是以相反量转换的矩阵。 F389) 来自上一个 练习。矩阵乘法很容易，因为有很多 1和 0： 6) 构造一个 4x4矩阵，由 [4,2,3]翻译 。 请参见第 137页的公式 9.10。 7) 构造一个 4x4矩阵绕 x轴旋转 20˚然后平移 [4,2,3]。 旋转矩阵的上 3x3部分使用第 108页的公式 8.2构造 。 将此与前一练习中的矩阵连接起来，得到： 24 8) 构造一个 4x4矩阵，通过 [4,2,3]平移，然后围绕 x轴旋转 20˚。 我们使用练习 7中的相同矩阵，只是我们以相反的顺序连接它们。请注意，只 有最后一行有效 。 9) 构造一个 4x4矩阵，在平面 x = 5上执行透视 投影。（假设原点是投影的 中心。 ） 公式 9.13给出了投影到平面 z = d上的矩阵，见 9.4.6节。我们可以应用相同的 基本原理投影到常数 x的平面上 ： 10) 使用上一练习中的矩阵计算点（ 107， -243,89）投影到 x = 5平面上的 3D 坐标 。 首先，我们将该点扩展到 4D并计算原始坐标中的投影点 。 现在我们除以原始坐标 w来获得物理 3D坐标 ： 第 10章 1) 构造四元数以绕 x轴旋转 30˚。 使用第 164页的公式 10.4： 这个四元数的大小是多少？ 由于我们知道四元数是一个有效的旋转四元数，它是一个单位四元数，因此幅 度为 1。但是，我们可以使用第 163页的公式 10.6验证这一点 。 它的共轭是什么？ 根据第 164页的公式 10.7，为了获得 quatnion共轭，我们否定向量部分 ： 26 共轭表示什么类型的旋转？ 在 10.4.7节中，我们了解到四元数共轭表示与原始四元数相反的旋转。由于 原始四元数围绕 x轴旋转 30°，因此共轭旋转绕 x轴旋转 30°。在下一个练习中， 我们将展示如何手动提取角度和旋转轴 。 2) 四元数表示什么类型的旋转： 我们反过来应用第 162页的公式 10.4。首先，我们从四元数的 w分量中提取旋转 角度θ ： 现在我们有了旋转角度，我们可以求解旋转轴， n： 实际结果更接近 [.57735， -.57735， .57735]。因为我们只使用了三位十进制 数字，所以累积了浮点错误。（实际上，旋转角度实际上是 30度，但由于反向 三角函数是高度非线性的，因此精度受限导致大的舍入误差。 ） 计算执行此旋转的 1/5日 的四元数。 在 10.4.12节中，我们学习了四元数取幂，它用于计算四元数，它表示给定四 元数旋转的“分数”。正式地，它使用四元数 exp和 log操作，如公式 10.18所 示。但是，正如我们在同一节中提到的，四元数 log和 exp操作是很好的数学 形式，但在实践中，四元 数 通过提取旋转角度和轴，获取旋转角度的所需分数，然后计算新的四元数来计 算指数。清单 10.1中的代码说明了这种技术。现在我们将在一个例子中以数学 方式应用它。（我们将使用更精确的值。 ） 3) 考虑四元数。 计算点积 a·b。 使用第 169页的公式 10.14： 计算从 a到 b的差 异 见 10.4.9节 28 计算四元数产品 ab。 使用第 168页的公式 10.13。 4) 将练习 2中的四元数转换为矩阵形式 。 这是练习 2中的四元数 ： 我们可以通过两种不同的方式将此四元数转换为矩阵。最直接的方法是直接应 用公式 10.23（第 187页） ： 5) 编写 C ++代码以将对象到惯性矩 阵转换为欧拉角形式 。 清单 10.3（第 184页）介绍了从惯性到对象旋转矩阵中提取欧拉角的代码。从 9.3节，我们知道物体到惯性矩阵是惯性 - 物体矩阵的转置。因此，我们可 以从列表 10.3开始，每当引用矩阵元素时，用转置中的相应元素替换该矩阵 元素。这会产生以下代码段 ： 30 //假设矩阵存储在这些变量中 ： 浮子 M11、 M12， M13；浮 子 m21， m22， m23;浮子 M32， M31， M33； //我们将以弧度计算欧拉角度值并将其存储在此处 ： 浮子 H、 P、 B； //从 m32中提取音高，注意使用 asin（）的域错误。我们可以 有 //由于浮点运算，值略微超出范围 。 浮子 SP＝ M32；如果（ P ＜＝ -1.0f） { p = -1.570796f;/ / / 2π 如果（ SP） 或 = 1.0）（ P = 1.570796； PI / / / 2 { }。 p = asin(sp); } //检查万向节锁壳，略微公 差 //数值不精 确 如果（ SP） 0.9999f） { //我们正在向上或向下看 。 //猛击到零，只需设置标 题 b = 0.0f; H = atan2（ M13， M11） ； { }。 //从 m31和 m33计算航 向 h = atan2 (m31, m31); //来自 m12和 m22的计算银 行 B =（ M22 M12， atan2） ； }